Номер 6.94, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.94, страница 211.

6.94* Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько минут самовар остынет до 30°?

Для решения этой задачи воспользуемся законом охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Математически это выражается дифференциальным уравнением:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{ср})$

где $T$ – температура тела в момент времени $t$, $T_{ср}$ – температура окружающей среды, а $k$ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств тела и условий теплообмена.

Решением этого уравнения является функция:

$T(t) - T_{ср} = (T_0 - T_{ср})e^{-kt}$

где $T_0$ – начальная температура тела.

Введем обозначения согласно условию задачи:

• Начальная температура кипящего самовара: $T_0 = 100^\circ\text{C}$.
• Температура воздуха: $T_{ср} = 20^\circ\text{C}$.
• Через $t_1 = 10$ мин температура самовара стала $T_1 = 60^\circ\text{C}$.
• Нужно найти время $t_2$, за которое самовар остынет до температуры $T_2 = 30^\circ\text{C}$.

Этап 1: Нахождение коэффициента остывания.

Подставим данные для первого промежутка времени ($t_1 = 10$ мин) в уравнение:

$T_1 - T_{ср} = (T_0 - T_{ср})e^{-kt_1}$

$60 - 20 = (100 - 20)e^{-k \cdot 10}$

$40 = 80e^{-10k}$

Разделим обе части на 80:

$e^{-10k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения можно найти $k$, но для дальнейших расчетов удобнее использовать полученное соотношение.

Этап 2: Расчет времени остывания до 30°C.

Теперь запишем уравнение для момента времени $t_2$, когда температура станет $T_2 = 30^\circ\text{C}$. Начальные условия остаются теми же ($T_0 = 100^\circ\text{C}$).

$T_2 - T_{ср} = (T_0 - T_{ср})e^{-kt_2}$

$30 - 20 = (100 - 20)e^{-kt_2}$

$10 = 80e^{-kt_2}$

Разделим обе части на 80:

$e^{-kt_2} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}$

Теперь воспользуемся результатом первого этапа. Мы знаем, что $e^{-10k} = \frac{1}{2}$. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.

Следовательно, мы можем записать:

$e^{-kt_2} = (\frac{1}{2})^3 = (e^{-10k})^3 = e^{-10k \cdot 3} = e^{-30k}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-kt_2 = -30k$

$t_2 = 30$

Таким образом, самовар остынет до $30^\circ\text{C}$ за 30 минут.

Ответ: 30 минут.