Страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.88 Точка движется по оси x со скоростью:

a) $v = 3$;

б) $v = a$;

в) $v = 2t$;

г) $v = at$;

д) $v = \cos t$;

е) $v = e^t$.

Найдите возможные законы движения точки. Определите среди этих законов тот, для которого $x = 0$ при $t = 0$, а также тот, для которого $x = 1$ при $t = 1$.

Закон движения точки $x(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, так как скорость — это производная координаты по времени ($v = x'(t)$). Чтобы найти все возможные законы движения, необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости: $x(t) = \int v(t) dt$.

а) $v = 3$

1. Находим все возможные законы движения (общий вид первообразной):

$x(t) = \int 3 \,dt = 3t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$. Подставляем эти значения в общую формулу:

$0 = 3 \cdot 0 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = 3t$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$. Подставляем эти значения в общую формулу:

$1 = 3 \cdot 1 + C \implies 1 = 3 + C \implies C = -2$

Таким образом, закон движения: $x(t) = 3t - 2$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = 3t + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = 3t$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = 3t - 2$.

б) $v = a$ (где $a$ - константа)

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int a \,dt = at + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = a \cdot 0 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = at$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = a \cdot 1 + C \implies 1 = a + C \implies C = 1 - a$

Таким образом, закон движения: $x(t) = at + 1 - a$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = at + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = at$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = at + 1 - a$.

в) $v = 2t$

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int 2t \,dt = 2 \frac{t^2}{2} + C = t^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = 0^2 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = t^2$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = 1^2 + C \implies 1 = 1 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = t^2$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = t^2 + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = t^2$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = t^2$.

г) $v = at$ (где $a$ - константа)

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int at \,dt = a \frac{t^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = a \frac{0^2}{2} + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \frac{at^2}{2}$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = a \frac{1^2}{2} + C \implies 1 = \frac{a}{2} + C \implies C = 1 - \frac{a}{2}$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \frac{at^2}{2} + 1 - \frac{a}{2}$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = \frac{at^2}{2} + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = \frac{at^2}{2}$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = \frac{at^2}{2} + 1 - \frac{a}{2}$.

д) $v = \cos t$

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int \cos t \,dt = \sin t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = \sin 0 + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \sin t$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = \sin 1 + C \implies C = 1 - \sin 1$

Таким образом, закон движения: $x(t) = \sin t + 1 - \sin 1$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = \sin t + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = \sin t$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = \sin t + 1 - \sin 1$.

е) $v = e^t$

1. Находим все возможные законы движения:

$x(t) = \int e^t \,dt = e^t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Находим закон движения, для которого $x = 0$ при $t = 0$:

$0 = e^0 + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$

Таким образом, закон движения: $x(t) = e^t - 1$.

3. Находим закон движения, для которого $x = 1$ при $t = 1$:

$1 = e^1 + C \implies C = 1 - e$

Таким образом, закон движения: $x(t) = e^t + 1 - e$.

Ответ: Возможные законы движения: $x(t) = e^t + C$. Закон для $x(0)=0$: $x(t) = e^t - 1$. Закон для $x(1)=1$: $x(t) = e^t + 1 - e$.

6.89 Нарисуйте график функции $x = -5t^2 + 800t$, задающей закон движения пули, выпущенной вверх, и определите:

а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля;

б) момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты;

в) момент падения пули на землю;

г) скорость пули в момент её падения на землю.

Заданный закон движения пули $x(t) = -5t^2 + 800t$ является квадратичной функцией. График этой функции, показывающий зависимость высоты $x$ от времени $t$, представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-5$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика и решения задачи найдем ключевые точки параболы в контексте физического смысла движения ($t \ge 0$).

• Вершина параболы: Её координаты $(t_{верш}, x_{макс})$ соответствуют моменту времени, когда пуля достигает максимальной высоты, и самой этой высоте.
  Абсцисса вершины находится по формуле $t_{верш} = -b / (2a)$:
  $t_{верш} = -800 / (2 \cdot (-5)) = -800 / (-10) = 80$ с.
  Ордината вершины (максимальная высота) находится подстановкой $t_{верш}$ в исходное уравнение:
  $x_{макс} = x(80) = -5(80)^2 + 800(80) = -5 \cdot 6400 + 64000 = -32000 + 64000 = 32000$ м.
  Таким образом, вершина параболы находится в точке $(80, 32000)$.
• Точки пересечения с осью времени (осью Ot): Эти точки соответствуют моментам времени, когда высота пули $x$ равна нулю (т.е. пуля находится на земле).
  Для этого решим уравнение $x(t) = 0$:
  $-5t^2 + 800t = 0$
  $t(-5t + 800) = 0$
  Это уравнение имеет два решения: $t_1 = 0$ с (момент выстрела) и $t_2 = 160$ с (момент падения).

График функции представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает своего максимума в точке $(80, 32000)$ и возвращается к оси времени в точке $(160, 0)$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) наибольшую высоту, на которую поднимется пуля;
Наибольшая высота подъема — это максимальное значение функции $x(t)$, которое соответствует ординате вершины параболы. Как было вычислено выше, эта высота составляет 32000 метров.
Ответ: 32000 м.

б) момент времени, когда пуля достигнет наибольшей высоты;
Момент времени, когда пуля достигает наибольшей высоты, соответствует абсциссе вершины параболы.
$t_{верш} = 80$ с.
Ответ: 80 с.

в) момент падения пули на землю;
Момент падения пули на землю соответствует второму (ненулевому) моменту времени, когда высота $x(t)$ равна нулю. Из решения уравнения $x(t)=0$ мы нашли, что это происходит при $t=160$ с.
Ответ: 160 с.

г) скорость пули в момент её падения на землю.
Скорость $v(t)$ является производной от функции координаты $x(t)$ по времени $t$.
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(-5t^2 + 800t) = -10t + 800$.
Чтобы найти скорость в момент падения ($t = 160$ с), подставим это значение в уравнение для скорости:
$v(160) = -10 \cdot 160 + 800 = -1600 + 800 = -800$ м/с.
Знак "минус" указывает на то, что в момент падения вектор скорости пули направлен вниз, то есть в сторону, противоположную начальному движению.
Ответ: -800 м/с.

6.90 Материальная точка падает с высоты 1000 м. Через сколько секунд она упадёт на землю и с какой скоростью? Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближённо равным $10 \text{ м/с}^2$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для равноускоренного движения, так как свободное падение тела (при пренебрежении сопротивлением воздуха) является частным случаем такого движения с постоянным ускорением $g$.

Исходные данные задачи:
Высота: $h = 1000$ м.
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с (поскольку материальная точка "падает", а не брошена).
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с².

Через сколько секунд она упадёт на землю

Расстояние, пройденное телом при равноускоренном движении, определяется формулой: $h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается: $h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этой формулы время падения $t$: $2h = gt^2 \implies t^2 = \frac{2h}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим известные значения и вычислим: $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1000 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{2000}{10}} \text{ с} = \sqrt{200} \text{ с}$

Упростим полученное значение: $t = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ с.

Ответ: материальная точка упадёт на землю через $10\sqrt{2}$ секунд (приблизительно 14,14 с).

С какой скоростью

Скорость тела в момент падения (конечная скорость) вычисляется по формуле: $v = v_0 + gt$

Так как $v_0 = 0$, формула принимает вид: $v = gt$

Подставим значение ускорения $g$ и найденное ранее время $t = 10\sqrt{2}$ с: $v = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10\sqrt{2} \text{ с} = 100\sqrt{2}$ м/с.

Для проверки можно также использовать формулу, не зависящую от времени: $v^2 = v_0^2 + 2gh$. Так как $v_0=0$, то $v = \sqrt{2gh}$. $v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1000 \text{ м}} = \sqrt{20000 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 100\sqrt{2}$ м/с.

Ответ: скорость материальной точки в момент падения на землю будет равна $100\sqrt{2}$ м/с (приблизительно 141,4 м/с).

6.91 На высоте 2000 м от земли выстрелили из винтовки вверх.

Скорость вылета пули 800 м/с.

а) Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.

б) Какой наибольшей высоты достигнет пуля?

в) Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?

г) Через какое время пуля упадёт на землю?

д) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение силы тяжести приближённо равным $10 \text{ м}/\text{с}^2$.

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с землей. Ось OY направим вертикально вверх, а начало отсчета (y=0) поместим на уровне земли. В этом случае:

• начальная координата пули: $y_0 = 2000 \text{ м}$
• начальная скорость пули: $v_0 = 800 \text{ м/с}$ (направлена вверх, поэтому знак "+")
• ускорение пули: $a = -g = -10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения направлено вниз, против оси OY)

а) Напишите закон движения пули, нарисуйте его график.

Общее уравнение для координаты тела при равноускоренном движении имеет вид: $y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Подставив в это уравнение заданные начальные условия, получим закон движения пули:

$y(t) = 2000 + 800t + \frac{(-10)t^2}{2}$

$y(t) = 2000 + 800t - 5t^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика найдем ключевые точки: начальную, точку максимального подъема и точку падения.

График зависимости высоты пули от времени $y(t)$:

Ответ: Закон движения пули: $y(t) = 2000 + 800t - 5t^2$. График — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(80 \text{ с}, 34000 \text{ м})$.

б) Какой наибольшей высоты достигнет пуля?

В точке максимального подъема скорость тела становится равной нулю. Уравнение для скорости является производной от уравнения координаты по времени: $v(t) = y'(t) = v_0 + at$.

$v(t) = 800 - 10t$

Приравняем скорость к нулю, чтобы найти время подъема $t_{под}$:

$800 - 10t_{под} = 0 \implies 10t_{под} = 800 \implies t_{под} = 80 \text{ с}$

Теперь подставим это время в закон движения, чтобы найти максимальную высоту $y_{max}$:

$y_{max} = y(80) = 2000 + 800 \cdot 80 - 5 \cdot 80^2 = 2000 + 64000 - 5 \cdot 6400 = 66000 - 32000 = 34000 \text{ м}$

Ответ: Наибольшая высота, которой достигнет пуля, составляет 34000 м (или 34 км).

в) Через какое время пуля достигнет наибольшей высоты?

Как было вычислено в предыдущем пункте, время достижения наибольшей высоты — это момент, когда скорость пули обращается в ноль.

$v(t) = 800 - 10t = 0$

$t = \frac{800}{10} = 80 \text{ с}$

Ответ: Пуля достигнет наибольшей высоты через 80 с.

г) Через какое время пуля упадёт на землю?

Пуля упадет на землю, когда ее координата $y(t)$ станет равной нулю. Необходимо решить квадратное уравнение:

$2000 + 800t - 5t^2 = 0$

Разделим уравнение на -5 для упрощения:

$t^2 - 160t - 400 = 0$

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$t = \frac{160 \pm \sqrt{(-160)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400)}}{2 \cdot 1} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 + 1600}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{27200}}{2}$

Упростим корень: $\sqrt{27200} = \sqrt{1600 \cdot 17} = 40\sqrt{17}$.

$t = \frac{160 \pm 40\sqrt{17}}{2} = 80 \pm 20\sqrt{17}$

Так как время не может быть отрицательным ($80 - 20\sqrt{17} < 0$), выбираем корень со знаком плюс:

$t_{пад} = 80 + 20\sqrt{17} \text{ с}$

Приближенное значение: $t_{пад} \approx 80 + 20 \cdot 4.123 \approx 80 + 82.46 \approx 162.46 \text{ с}$.

Ответ: Пуля упадёт на землю через $80 + 20\sqrt{17}$ с, что приблизительно равно 162.5 с.

д) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Чтобы найти скорость в момент падения, подставим время падения $t_{пад}$, найденное в пункте г), в уравнение скорости $v(t) = 800 - 10t$.

$v_{пад} = 800 - 10(80 + 20\sqrt{17}) = 800 - 800 - 200\sqrt{17} = -200\sqrt{17} \text{ м/с}$

Знак "минус" указывает, что вектор скорости направлен вниз. Величина скорости (модуль) равна $200\sqrt{17} \text{ м/с}$.

Приближенное значение скорости: $v_{пад} \approx 200 \cdot 4.123 \approx 824.6 \text{ м/с}$.

Проверим результат с помощью формулы, не содержащей времени: $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$. В момент падения $y=0$.

$v_{пад}^2 = 800^2 + 2(-10)(0 - 2000) = 640000 + 40000 = 680000$

$v_{пад} = -\sqrt{680000} = -\sqrt{40000 \cdot 17} = -200\sqrt{17} \text{ м/с}$

Результаты совпадают.

Ответ: Пуля упадёт на землю со скоростью, модуль которой равен $200\sqrt{17}$ м/с (приблизительно 824.6 м/с). Направление скорости — вниз.

6.92 В задаче 6.91 считать, что выстрел направлен вниз и ускорение земного притяжения равно $10 \text{ м/с}^2$, а скорость вылета пули из винтовки $800 \text{ м/с}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

а) Через какое время пуля достигнет земли?

б) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Для решения задачи необходимо знать высоту, с которой производится выстрел. Эта информация, как правило, содержится в условии задачи 6.91, на которую ссылается данная задача. Чаще всего в таких задачах фигурирует высота Останкинской телебашни, которую для простоты расчетов принимают равной $h = 540$ м. Будем исходить из этого предположения.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OY вертикально вниз, а начало отсчета ($y=0$) поместим в точку выстрела. В этом случае начальная скорость пули и ускорение свободного падения будут иметь положительные проекции на ось OY.

Дано:
Начальная скорость пули $v_0 = 800$ м/с
Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²
Высота (перемещение) $h = 540$ м

а) Через какое время пуля достигнет земли?

Движение пули является равноускоренным. Путь, пройденный пулей, описывается уравнением: $h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения в уравнение: $540 = 800t + \frac{10t^2}{2}$

Получаем квадратное уравнение относительно времени $t$: $5t^2 + 800t - 540 = 0$

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=5$, $b=800$, $c=-540$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 800^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-540) = 640000 + 10800 = 650800$

Найдем корни уравнения: $t = \frac{-800 \pm \sqrt{650800}}{2 \cdot 5} = \frac{-800 \pm 806.72}{10}$

Физический смысл имеет только положительное значение времени, поэтому выбираем корень со знаком «плюс»: $t = \frac{-800 + 806.72}{10} = \frac{6.72}{10} \approx 0.67$ с

Ответ: Пуля достигнет земли примерно через $0.67$ с.

б) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Конечную скорость пули $v$ можно найти по формуле, не использующей время. Это удобно, так как позволяет избежать погрешности вычисления из пункта а). $v^2 = v_0^2 + 2gh$

Подставим значения: $v^2 = 800^2 + 2 \cdot 10 \cdot 540$ $v^2 = 640000 + 10800 = 650800$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость: $v = \sqrt{650800} \approx 806.72$ м/с

Для проверки можно использовать и другую формулу, $v = v_0 + gt$, подставив время из пункта а): $v = 800 + 10 \cdot 0.67 = 800 + 6.7 = 806.7$ м/с. (Небольшое расхождение связано с округлением времени $t$).

Ответ: Пуля упадёт на землю со скоростью примерно $806.72$ м/с.

6.93* Кипящий электрический самовар отключили от сети и вынесли на воздух. За 12 мин он остыл до 52°. Температура воздуха 28°. Какой будет температура самовара через 24 мин?

Для решения этой задачи используется закон остывания Ньютона (или закон Ньютона-Рихмана), который описывает процесс охлаждения тела в среде с постоянной температурой. Согласно этому закону, разность температур между телом и средой уменьшается экспоненциально со временем. Математически это выражается формулой:$T(t) = T_{ср} + (T_0 - T_{ср}) \cdot e^{-kt}$где $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, $T_0$ — начальная температура тела, $T_{ср}$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент остывания, который зависит от свойств тела и среды.

Введем данные из условия задачи:

Начальная температура кипящего самовара (температура кипения воды при нормальном давлении) $T_0 = 100^\circ C$.

Температура окружающего воздуха $T_{ср} = 28^\circ C$.

Через время $t_1 = 12$ мин температура самовара стала $T(t_1) = 52^\circ C$.

Требуется найти температуру самовара $T(t_2)$ через время $t_2 = 24$ мин.

Сначала, используя данные за первые 12 минут, найдем экспоненциальный множитель $e^{-kt_1}$. Подставим известные значения в основную формулу:$52 = 28 + (100 - 28) \cdot e^{-k \cdot 12}$Вычтем температуру среды из обеих частей уравнения, чтобы найти разность температур:$52 - 28 = 72 \cdot e^{-12k}$$24 = 72 \cdot e^{-12k}$Теперь найдем значение множителя $e^{-12k}$:$e^{-12k} = \frac{24}{72} = \frac{1}{3}$Это показывает, что за каждые 12 минут разность температур между самоваром и воздухом уменьшается в 3 раза.

Теперь мы можем рассчитать температуру самовара через 24 минуты. Для этого подставим $t_2 = 24$ мин в исходную формулу:$T(24) = T_{ср} + (T_0 - T_{ср}) \cdot e^{-k \cdot 24}$Мы можем выразить множитель $e^{-24k}$ через уже найденный $e^{-12k}$:$e^{-24k} = e^{-12k \cdot 2} = (e^{-12k})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Подставим полученное значение в формулу для температуры в момент времени 24 мин:$T(24) = 28 + (100 - 28) \cdot \frac{1}{9}$$T(24) = 28 + 72 \cdot \frac{1}{9}$$T(24) = 28 + 8$$T(24) = 36^\circ C$

Ответ: через 24 минуты температура самовара будет 36°C.

6.94* Кипящий электрический самовар вынесли на воздух, и за 10 мин он остыл до 60°. Температура воздуха 20°. За сколько минут самовар остынет до 30°?

Для решения этой задачи воспользуемся законом охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Математически это выражается дифференциальным уравнением:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{ср})$

где $T$ – температура тела в момент времени $t$, $T_{ср}$ – температура окружающей среды, а $k$ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств тела и условий теплообмена.

Решением этого уравнения является функция:

$T(t) - T_{ср} = (T_0 - T_{ср})e^{-kt}$

где $T_0$ – начальная температура тела.

Введем обозначения согласно условию задачи:

• Начальная температура кипящего самовара: $T_0 = 100^\circ\text{C}$.
• Температура воздуха: $T_{ср} = 20^\circ\text{C}$.
• Через $t_1 = 10$ мин температура самовара стала $T_1 = 60^\circ\text{C}$.
• Нужно найти время $t_2$, за которое самовар остынет до температуры $T_2 = 30^\circ\text{C}$.

Этап 1: Нахождение коэффициента остывания.

Подставим данные для первого промежутка времени ($t_1 = 10$ мин) в уравнение:

$T_1 - T_{ср} = (T_0 - T_{ср})e^{-kt_1}$

$60 - 20 = (100 - 20)e^{-k \cdot 10}$

$40 = 80e^{-10k}$

Разделим обе части на 80:

$e^{-10k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения можно найти $k$, но для дальнейших расчетов удобнее использовать полученное соотношение.

Этап 2: Расчет времени остывания до 30°C.

Теперь запишем уравнение для момента времени $t_2$, когда температура станет $T_2 = 30^\circ\text{C}$. Начальные условия остаются теми же ($T_0 = 100^\circ\text{C}$).

$T_2 - T_{ср} = (T_0 - T_{ср})e^{-kt_2}$

$30 - 20 = (100 - 20)e^{-kt_2}$

$10 = 80e^{-kt_2}$

Разделим обе части на 80:

$e^{-kt_2} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}$

Теперь воспользуемся результатом первого этапа. Мы знаем, что $e^{-10k} = \frac{1}{2}$. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.

Следовательно, мы можем записать:

$e^{-kt_2} = (\frac{1}{2})^3 = (e^{-10k})^3 = e^{-10k \cdot 3} = e^{-30k}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-kt_2 = -30k$

$t_2 = 30$

Таким образом, самовар остынет до $30^\circ\text{C}$ за 30 минут.

Ответ: 30 минут.

6.95* Первоначально в баке было 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно вливается 5 л чистой воды в минуту, и столько же раствора выливается из бака. Весь процесс происходит при тщательном перемешивании раствора. Сколько килограммов соли останется в баке через 1 ч?

Для решения этой задачи необходимо составить и решить дифференциальное уравнение, которое описывает изменение массы соли в баке с течением времени.

Пусть $m(t)$ — масса соли в килограммах в баке в момент времени $t$ (измеряемый в минутах). Начальное условие задачи: в момент времени $t=0$, масса соли $m(0) = 10$ кг.

Общий объем раствора в баке $V$ остается постоянным и равным 100 л, поскольку скорость вливания жидкости (5 л/мин) равна скорости ее выливания (5 л/мин).

Так как раствор в баке тщательно перемешивается, концентрация соли в любой момент времени $t$ одинакова во всем объеме и равна $c(t) = \frac{m(t)}{V} = \frac{m(t)}{100}$ кг/л.

Скорость изменения массы соли в баке, обозначаемая как $\frac{dm}{dt}$, равна разности между скоростью поступления соли и скоростью ее убывания.

1. Скорость поступления соли. В бак вливается чистая вода, в которой соль отсутствует. Следовательно, скорость поступления соли равна 0 кг/мин.

2. Скорость убывания соли. Каждую минуту из бака выливается 5 литров раствора с концентрацией $c(t)$. Таким образом, количество вымываемой соли в минуту составляет: $Скорость_{убыв.} = 5 \text{ л/мин} \times c(t) \text{ кг/л} = 5 \times \frac{m(t)}{100} = \frac{m(t)}{20}$ кг/мин.

Составим дифференциальное уравнение, объединив скорости поступления и убывания: $\frac{dm}{dt} = 0 - \frac{m(t)}{20}$ $\frac{dm}{dt} = -\frac{m}{20}$

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения разделим переменные $m$ и $t$: $\frac{dm}{m} = -\frac{1}{20} dt$

Проинтегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dm}{m} = \int -\frac{1}{20} dt$ $\ln(m) = -\frac{t}{20} + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

Чтобы найти $m(t)$, потенцируем обе части уравнения: $m(t) = e^{-\frac{t}{20} + C} = e^C \cdot e^{-\frac{t}{20}}$ Обозначим константу $e^C$ как $C_0$. Тогда общее решение уравнения имеет вид: $m(t) = C_0 e^{-\frac{t}{20}}$

Для нахождения $C_0$ используем начальное условие $m(0) = 10$ кг: $10 = C_0 e^{-\frac{0}{20}} = C_0 e^0 = C_0 \cdot 1$ Следовательно, $C_0 = 10$.

Таким образом, зависимость массы соли от времени описывается функцией: $m(t) = 10 e^{-\frac{t}{20}}$

Нам нужно найти массу соли, оставшуюся в баке через 1 час. Переведем время в минуты: $t = 1 \text{ час} = 60$ минут. Подставим $t=60$ в полученную формулу: $m(60) = 10 e^{-\frac{60}{20}} = 10 e^{-3} = \frac{10}{e^3}$

Это точный ответ. Для получения численного значения используем приближение $e \approx 2.71828$: $m(60) \approx \frac{10}{2.71828^3} \approx \frac{10}{20.0855} \approx 0.49787$ кг.

Ответ: Через 1 час в баке останется $\frac{10}{e^3}$ кг соли, что приблизительно равно 0.5 кг.