Страница 205 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.82 a) Какое уравнение называют дифференциальным уравнением?

б) Какое дифференциальное уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка; второго порядка?

в) Что называют решением дифференциального уравнения?

г) Что называют общим решением дифференциального уравнения; частным решением дифференциального уравнения?

а) Дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает независимую переменную (аргумент), искомую функцию этой переменной и её производные различных порядков. В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение $n$-го порядка можно записать как $F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0$, где $x$ — это независимая переменная, $y = f(x)$ — это искомая функция, а $y', y'', \dots, y^{(n)}$ — её производные. Например, уравнение $y' + 3xy = \cos(x)$ является дифференциальным уравнением. Ответ:

б) Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, в котором наивысший порядок производной искомой функции равен единице. Его общий вид: $F(x, y, y') = 0$, или, если уравнение разрешено относительно производной: $y' = f(x, y)$. Пример: $y' - y = 2x$.

Дифференциальное уравнение второго порядка — это уравнение, в котором наивысший порядок производной искомой функции равен двум. Его общий вид: $F(x, y, y', y'') = 0$. Пример: $y'' + 5y' + 6y = 0$. Ответ:

в) Решением дифференциального уравнения на некотором интервале $(a, b)$ называется любая дифференцируемая функция $y = \phi(x)$, которая при подстановке в это уравнение обращает его в верное тождество для всех $x$ из этого интервала. Например, для дифференциального уравнения $y' = 2x$ решением будет функция $y = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Если подставить эту функцию в уравнение, мы получим $(x^2+C)' = 2x$, что дает верное тождество $2x=2x$. Ответ:

г) Общим решением дифференциального уравнения $n$-го порядка называется семейство функций $y = \phi(x, C_1, C_2, \dots, C_n)$, которое зависит от $n$ произвольных независимых постоянных $C_1, C_2, \dots, C_n$ и удовлетворяет данному уравнению при любых значениях этих постоянных. Количество констант равно порядку уравнения. Например, для уравнения $y'' + y = 0$ общим решением является функция $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных. Эти значения обычно находят, используя начальные или краевые условия. Например, для уравнения $y'' + y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$, можно найти постоянные. Из общего решения $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$ имеем $y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 1$. Производная общего решения: $y' = -C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x)$, тогда $y'(0) = -C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) = C_2 = 0$. Таким образом, частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, имеет вид $y = \cos(x)$. Ответ: