Страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.81* Плотность стержня на отрезке $[a; b]$ есть функция $\rho(x)$ координаты $x$ $(a \le x \le b)$. Вычислите массу стержня, если:

а) $\rho(x) = x + 1, a = 0, b = 2;$

б) $\rho(x) = 0,3x^2, a = 0, b = 3.$

Масса стержня с переменной линейной плотностью $ \rho(x) $ на отрезке $ [a; b] $ вычисляется как определенный интеграл от функции плотности по этому отрезку. Формула для вычисления массы $ m $ выглядит следующим образом:

$ m = \int_a^b \rho(x) \,dx $

Применим эту формулу для решения каждого из подпунктов.

а)

Даны функция плотности $ \rho(x) = x + 1 $ и отрезок $ [0; 2] $, где $ a = 0 $ и $ b = 2 $.

Масса стержня вычисляется по интегралу:

$ m = \int_0^2 (x + 1) \,dx $

Для вычисления этого интеграла найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = x + 1 $. Первообразная для $ x $ это $ \frac{x^2}{2} $, а для $ 1 $ это $ x $. Следовательно, первообразная $ F(x) $ для $ x + 1 $ равна $ F(x) = \frac{x^2}{2} + x $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $:

$ m = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \Big|_0^2 = \left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right) = \left( \frac{4}{2} + 2 \right) - 0 = 2 + 2 = 4 $

Ответ: 4

б)

Даны функция плотности $ \rho(x) = 0,3x^2 $ и отрезок $ [0; 3] $, где $ a = 0 $ и $ b = 3 $.

Масса стержня вычисляется по интегралу:

$ m = \int_0^3 0,3x^2 \,dx $

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 0,3x^2 $. Первообразная для $ x^2 $ это $ \frac{x^3}{3} $. Следовательно, первообразная $ F(x) $ для $ 0,3x^2 $ равна $ F(x) = 0,3 \cdot \frac{x^3}{3} = 0,1x^3 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ m = \left( 0,1x^3 \right) \Big|_0^3 = (0,1 \cdot 3^3) - (0,1 \cdot 0^3) = (0,1 \cdot 27) - 0 = 2,7 $

Ответ: 2,7