Страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.75 Множество точек координатной плоскости $xOy$, удовлетворяющих уравнению $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a \neq b)$, называют эллипсом.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

a) $x^2 + 9y^2 = 9$ (рис. 167);

б) $4x^2 + y^2 = 4$ (рис. 168).

Рис. 167

$x^2+9y^2=9$

Рис. 168

$4x^2+y^2=4$

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заданным каноническим уравнением $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $, где $a$ и $b$ — длины большой и малой полуосей эллипса, вычисляется по формуле: $ S = \pi ab $.

Для решения задачи необходимо привести каждое из данных уравнений к каноническому виду, чтобы определить значения полуосей $a$ и $b$, а затем вычислить площадь.

а) Вычислим площадь фигуры, ограниченной эллипсом $x^2 + 9y^2 = 9$.

Для приведения уравнения к каноническому виду разделим обе его части на 9: $ \frac{x^2}{9} + \frac{9y^2}{9} = \frac{9}{9} $

Упростив, получаем каноническое уравнение эллипса: $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1 $

Из этого уравнения видно, что квадраты полуосей равны $a^2 = 9$ и $b^2 = 1$. Следовательно, длины полуосей: $ a = \sqrt{9} = 3 $
$ b = \sqrt{1} = 1 $

Теперь можем вычислить площадь эллипса: $ S = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 3 \cdot 1 = 3\pi $

Ответ: $3\pi$.

б) Вычислим площадь фигуры, ограниченной эллипсом $4x^2 + y^2 = 4$.

Для приведения уравнения к каноническому виду разделим обе его части на 4: $ \frac{4x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = \frac{4}{4} $

Упростив, получаем каноническое уравнение эллипса: $ \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1 $

Из этого уравнения видно, что квадраты полуосей равны $a^2 = 1$ и $b^2 = 4$. Следовательно, длины полуосей: $ a = \sqrt{1} = 1 $
$ b = \sqrt{4} = 2 $

Теперь можем вычислить площадь эллипса: $ S = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi $

Ответ: $2\pi$.

6.76 Какова формула для вычисления объёма тела вращения?

Объём тела, которое образуется при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, вычисляется с помощью определённого интеграла. Основная идея заключается в том, чтобы мысленно "нарезать" тело на бесконечно тонкие диски (или кольца), перпендикулярные оси вращения, найти объём каждого такого элементарного диска и затем просуммировать эти объёмы с помощью интегрирования.

Существуют две основные формулы в зависимости от того, вокруг какой оси происходит вращение.

1. Вращение вокруг оси абсцисс (Ox)

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью Ox и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

При вращении этой фигуры вокруг оси Ox получается тело вращения. Объём этого тела вычисляется по методу дисков. Мысленно разрежем тело плоскостью, перпендикулярной оси Ox, в точке $x$. В сечении получится круг, радиус которого равен значению функции в этой точке, то есть $r = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi (f(x))^2$.

Чтобы найти объём всего тела, нужно проинтегрировать площади этих кругов по отрезку от $a$ до $b$.

Ответ: $V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$

2. Вращение вокруг оси ординат (Oy)

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$, осью Oy и горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$.

При вращении этой фигуры вокруг оси Oy также получается тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Oy, в точке $y$ представляет собой круг радиусом $r = g(y)$. Его площадь равна $S(y) = \pi r^2 = \pi (g(y))^2$.

Объём вычисляется путём интегрирования этих площадей по отрезку от $c$ до $d$.

Ответ: $V = \pi \int_c^d (g(y))^2 dy$

Дополнительный случай: вращение фигуры между двумя кривыми

Если фигура, вращающаяся вокруг оси Ox, ограничена сверху графиком функции $y = f_2(x)$, а снизу — графиком функции $y = f_1(x)$ (при условии $f_2(x) \ge f_1(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, то сечение тела вращения будет представлять собой кольцо.

Внешний радиус кольца равен $R = f_2(x)$, а внутренний — $r = f_1(x)$. Площадь кольца равна разности площадей большого и малого кругов: $S(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi((f_2(x))^2 - (f_1(x))^2)$.

Объём такого тела находится интегрированием площади кольца.

Ответ: $V = \pi \int_a^b \left( (f_2(x))^2 - (f_1(x))^2 \right) dx$

6.77 Используя формулу объёма тела вращения, получите формулы для вычисления объёмов цилиндра и конуса.

Общая формула для вычисления объёма тела, полученного в результате вращения вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, имеет вид:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Используем эту формулу для вывода формул объёмов цилиндра и конуса.

Цилиндр

Прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $H$ можно представить как тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Расположим этот прямоугольник в системе координат так, чтобы он был ограничен прямыми $y = R$, $y = 0$ (ось $Ox$), $x = 0$ и $x = H$. Вращение будет происходить вокруг оси $Ox$.

В данном случае функция, описывающая контур тела, является постоянной: $f(x) = R$. Пределами интегрирования служат $a = 0$ и $b = H$.

Подставим эти значения в общую формулу объёма тела вращения:

$V_{цилиндра} = \pi \int_{0}^{H} R^2 dx$

Так как $R$ является постоянной величиной, множитель $\pi R^2$ можно вынести за знак интеграла:

$V = \pi R^2 \int_{0}^{H} 1 \cdot dx = \pi R^2 [x]_{0}^{H} = \pi R^2 (H - 0) = \pi R^2 H$

Ответ: $V_{цилиндра} = \pi R^2 H$

Конус

Прямой круговой конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$ можно представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Расположим конус так, чтобы его вершина находилась в начале координат $(0, 0)$, а ось совпадала с осью $Ox$. Катет, служащий высотой, будет лежать на оси $Ox$.

В этом случае тело вращения образуется вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной осью $Ox$, прямой $x = H$ и гипотенузой треугольника. Гипотенуза является отрезком прямой, проходящей через точки $(0, 0)$ и $(H, R)$. Уравнение этой прямой, $y = f(x)$, имеет вид $y = kx$.

Для нахождения коэффициента $k$ подставим координаты точки $(H, R)$ в уравнение прямой: $R = k \cdot H$, откуда $k = \frac{R}{H}$.

Таким образом, функция, описывающая образующую конуса, это $f(x) = \frac{R}{H}x$. Пределы интегрирования — от $a = 0$ до $b = H$.

Подставим функцию и пределы в формулу объёма:

$V_{конуса} = \pi \int_{0}^{H} \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \frac{R^2}{H^2}x^2 dx$

Вынесем постоянный множитель $\pi \frac{R^2}{H^2}$ за знак интеграла:

$V = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx = \pi \frac{R^2}{H^2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{H} = \pi \frac{R^2}{H^2} \left(\frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{\pi R^2 H^3}{3H

6.78 Вычислите объём тела, полученного вращением кривой — графика функции $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$, вокруг оси $Ox$.

Решение

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В нашем случае дана функция $y = \sin x$ на отрезке $[0, \pi]$. Подставим эти данные в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx$

Для вычисления этого интеграла используем тригонометрическую формулу понижения степени:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Подставляем это выражение в интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx$

Вынесем константу $\frac{\pi}{2}$ за знак интеграла и найдём первообразную:

$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) dx = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\pi}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)\right) \right)$

Учитывая, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$V = \frac{\pi}{2} ((\pi - 0) - (0 - 0)) = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi^2}{2}$.

6.79 Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции $y = x^2, -2 \leq x \leq 2$, вокруг оси $Oy$.

Для нахождения объёма тела, полученного вращением кривой вокруг оси $Oy$, применяется метод дисков. Объём такого тела вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{c}^{d} x^2 \, dy$

где $x^2$ является функцией от $y$, а $c$ и $d$ — это пределы интегрирования по оси $y$.

Нам дана кривая $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2, 2]$. Сначала определим пределы интегрирования по переменной $y$.

Нижний предел $c$ соответствует минимальному значению $y$ на заданном отрезке для $x$. Минимальное значение $y$ достигается при $x=0$:

$c = y(0) = 0^2 = 0$

Верхний предел $d$ соответствует максимальному значению $y$. Так как функция $y=x^2$ является чётной, её максимальное значение на симметричном отрезке $[-2, 2]$ будет достигаться на его концах, то есть при $x = \pm 2$:

$d = y(\pm 2) = (\pm 2)^2 = 4$

Таким образом, интегрирование будет производиться в пределах от $y=0$ до $y=4$.

Из уравнения кривой $y = x^2$ мы можем выразить $x^2$ через $y$, что нам и требуется для формулы объёма: $x^2 = y$.

Теперь подставим всё в интеграл и вычислим его:

$V = \pi \int_{0}^{4} y \, dy$

Вычисляем полученный определённый интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Следовательно, объём тела вращения равен $8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

6.80* К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила $F = f(x)$, где $x$ — координата движущейся точки. Вычислите работу силы $F$ по перемещению точки от точки $x = a$ до точки $x = b$, если:

a) $f(x) = 2x - 1, a = 0, b = 3;$

б) $f(x) = -x^2 + 4, a = 0, b = 2.$

Работа $A$, совершаемая переменной силой $F = f(x)$ при перемещении материальной точки вдоль оси $Ox$ из положения $x = a$ в положение $x = b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$A = \int_a^b f(x) \,dx$

а)

В данном случае функция силы $f(x) = 2x - 1$, начальная координата $a = 0$, конечная координата $b = 3$.

Вычислим работу $A$:

$A = \int_0^3 (2x - 1) \,dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 1$:

$F(x) = \int (2x - 1) \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x = x^2 - x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$A = \int_0^3 (2x - 1) \,dx = (x^2 - x) \bigg|_0^3 = (3^2 - 3) - (0^2 - 0) = (9 - 3) - 0 = 6$

Ответ: 6.

б)

В данном случае функция силы $f(x) = -x^2 + 4$, начальная координата $a = 0$, конечная координата $b = 2$.

Вычислим работу $A$:

$A = \int_0^2 (-x^2 + 4) \,dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = -x^2 + 4$:

$F(x) = \int (-x^2 + 4) \,dx = -\frac{x^3}{3} + 4x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$A = \int_0^2 (-x^2 + 4) \,dx = (-\frac{x^3}{3} + 4x) \bigg|_0^2 = (-\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2) - (-\frac{0^3}{3} + 4 \cdot 0) = (-\frac{8}{3} + 8) - 0 = \frac{-8 + 24}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$.