Номер 6.77, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.77, страница 201.

6.77 Используя формулу объёма тела вращения, получите формулы для вычисления объёмов цилиндра и конуса.

Общая формула для вычисления объёма тела, полученного в результате вращения вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, имеет вид:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Используем эту формулу для вывода формул объёмов цилиндра и конуса.

Цилиндр

Прямой круговой цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $H$ можно представить как тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Расположим этот прямоугольник в системе координат так, чтобы он был ограничен прямыми $y = R$, $y = 0$ (ось $Ox$), $x = 0$ и $x = H$. Вращение будет происходить вокруг оси $Ox$.

В данном случае функция, описывающая контур тела, является постоянной: $f(x) = R$. Пределами интегрирования служат $a = 0$ и $b = H$.

Подставим эти значения в общую формулу объёма тела вращения:

$V_{цилиндра} = \pi \int_{0}^{H} R^2 dx$

Так как $R$ является постоянной величиной, множитель $\pi R^2$ можно вынести за знак интеграла:

$V = \pi R^2 \int_{0}^{H} 1 \cdot dx = \pi R^2 [x]_{0}^{H} = \pi R^2 (H - 0) = \pi R^2 H$

Ответ: $V_{цилиндра} = \pi R^2 H$

Конус

Прямой круговой конус с радиусом основания $R$ и высотой $H$ можно представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Расположим конус так, чтобы его вершина находилась в начале координат $(0, 0)$, а ось совпадала с осью $Ox$. Катет, служащий высотой, будет лежать на оси $Ox$.

В этом случае тело вращения образуется вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной осью $Ox$, прямой $x = H$ и гипотенузой треугольника. Гипотенуза является отрезком прямой, проходящей через точки $(0, 0)$ и $(H, R)$. Уравнение этой прямой, $y = f(x)$, имеет вид $y = kx$.

Для нахождения коэффициента $k$ подставим координаты точки $(H, R)$ в уравнение прямой: $R = k \cdot H$, откуда $k = \frac{R}{H}$.

Таким образом, функция, описывающая образующую конуса, это $f(x) = \frac{R}{H}x$. Пределы интегрирования — от $a = 0$ до $b = H$.

Подставим функцию и пределы в формулу объёма:

$V_{конуса} = \pi \int_{0}^{H} \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \frac{R^2}{H^2}x^2 dx$

Вынесем постоянный множитель $\pi \frac{R^2}{H^2}$ за знак интеграла:

$V = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx = \pi \frac{R^2}{H^2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{H} = \pi \frac{R^2}{H^2} \left(\frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{\pi R^2 H^3}{3H