Номер 6.77, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.77 Используя формулу объёма тела вращения, получите формулы для вычисления объёмов цилиндра и конуса.

Для вывода формул объемов тел вращения используется определенный интеграл. Общий вид формулы объема тела, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a; b]$, выглядит так:

$$V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx$$

1. Вывод формулы объема цилиндра

Представим цилиндр как тело вращения прямоугольника. Для этого возьмем функцию $y = R$ (постоянная функция, где $R$ — радиус цилиндра) на отрезке от $0$ до $H$ (где $H$ — высота цилиндра).

Применяем формулу:

$$V = \pi \int_{0}^{H} R^2 \, dx$$

Так как $R$ — константа, выносим $R^2$ за знак интеграла:

$$V = \pi R^2 \int_{0}^{H} dx = \pi R^2 [x]_0^H = \pi R^2 (H - 0) = \pi R^2 H$$

Итог: $V_{цил} = \pi R^2 H$

2. Вывод формулы объема конуса

Представим конус как тело вращения прямоугольного треугольника. Для этого возьмем прямую, проходящую через начало координат $(0;0)$ и точку $(H; R)$. Уравнение такой прямой: $y = \frac{R}{H}x$.

Применяем формулу на отрезке от $0$ до $H$:

$$V = \pi \int_{0}^{H} \left(\frac{R}{H}x\right)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{H} \frac{R^2}{H^2}x^2 \, dx$$

Выносим константу $\frac{\pi R^2}{H^2}$ за знак интеграла:

$$V = \frac{\pi R^2}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 \, dx = \frac{\pi R^2}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^H$$

Подставляем пределы интегрирования:

$$V = \frac{\pi R^2}{H^2} \cdot \left( \frac{H^3}{3} - 0 \right) = \frac{\pi R^2 \cdot H^3}{H^2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$$

Итог: $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$