Номер 6.78, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.78, страница 201.

6.78 Вычислите объём тела, полученного вращением кривой — графика функции $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$, вокруг оси $Ox$.

Решение

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В нашем случае дана функция $y = \sin x$ на отрезке $[0, \pi]$. Подставим эти данные в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx$

Для вычисления этого интеграла используем тригонометрическую формулу понижения степени:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Подставляем это выражение в интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx$

Вынесем константу $\frac{\pi}{2}$ за знак интеграла и найдём первообразную:

$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2x)) dx = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\pi}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$V = \frac{\pi}{2} \left( \left(\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)\right) - \left(0 - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)\right) \right)$

Учитывая, что $\sin(2\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$V = \frac{\pi}{2} ((\pi - 0) - (0 - 0)) = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi^2}{2}$.