Номер 6.73, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.73, страница 196.

6.73 Вычислите определённый интеграл, используя замену переменной:

а) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx; $ б) $ \int_{0}^{\pi} \sin \frac{x}{3} dx; $ в) $ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx; $

г) $ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx; $ д) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{4 + x^2}; $ е) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}}. $

а) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) dx $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Тогда дифференциал $ dt = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = 0 $, то $ t = 2 \cdot 0 = 0 $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ t = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) dx = \int_{0}^{\pi} \cos(t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(t) dt = \frac{1}{2} [\sin(t)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}(\sin(\pi) - \sin(0)) = \frac{1}{2}(0 - 0) = 0 $.

Ответ: $0$.

б) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\pi} \sin\frac{x}{3} dx $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{3} $. Тогда дифференциал $ dt = \frac{1}{3}dx $, откуда $ dx = 3dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = 0 $, то $ t = \frac{0}{3} = 0 $.

Если $ x = \pi $, то $ t = \frac{\pi}{3} $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} \sin\frac{x}{3} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(t) (3dt) = 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(t) dt = 3 [-\cos(t)]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -3(\cos\frac{\pi}{3} - \cos 0) = -3(\frac{1}{2} - 1) = -3(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

в) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx $.

Сделаем тригонометрическую замену. Пусть $ x = \sin(t) $. Поскольку $ x $ изменяется от $-1$ до $1$, мы можем выбрать $ t $, изменяющимся от $ -\frac{\pi}{2} $ до $ \frac{\pi}{2} $.

Дифференциал $ dx = \cos(t)dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = -1 $, то $ \sin(t) = -1 \implies t = -\frac{\pi}{2} $.

Если $ x = 1 $, то $ \sin(t) = 1 \implies t = \frac{\pi}{2} $.

Подставим замену в подынтегральное выражение: $ \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{\cos^2(t)} = |\cos(t)| $. На отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ функция $ \cos(t) \ge 0 $, поэтому $ |\cos(t)| = \cos(t) $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cdot \cos(t) dt = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} $:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} [t + \frac{1}{2}\sin(2t)]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi)) \right) = \frac{1}{2} \left( (\frac{\pi}{2} + 0) - (-\frac{\pi}{2} + 0) \right) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

г) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx $.

Сделаем тригонометрическую замену. Пусть $ x = 2\sin(t) $. Поскольку $ x $ изменяется от $0$ до $2$, мы можем выбрать $ t $, изменяющимся от $0$ до $ \frac{\pi}{2} $.

Дифференциал $ dx = 2\cos(t)dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = 0 $, то $ 2\sin(t) = 0 \implies t = 0 $.

Если $ x = 2 $, то $ 2\sin(t) = 2 \implies \sin(t) = 1 \implies t = \frac{\pi}{2} $.

Подставим замену в подынтегральное выражение: $ \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - (2\sin t)^2} = \sqrt{4(1 - \sin^2 t)} = \sqrt{4\cos^2 t} = 2|\cos t| $. На отрезке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ \cos(t) \ge 0 $, поэтому $ 2|\cos t| = 2\cos t $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(t) \cdot 2\cos(t) dt = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} $:

$ 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2t)) dt = 2 [t + \frac{1}{2}\sin(2t)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left( (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)) \right) = 2 (\frac{\pi}{2} - 0) = \pi $.

Ответ: $ \pi $.

д) Вычислим интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{4 + x^2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ x = 2\tan(t) $, тогда $ t = \arctan(\frac{x}{2}) $.

Дифференциал $ dx = \frac{2}{\cos^2(t)} dt = 2\sec^2(t) dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = -\frac{\pi}{2} $, то $ t = \arctan(\frac{-\pi/2}{2}) = \arctan(-\frac{\pi}{4}) $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ t = \arctan(\frac{\pi/2}{2}) = \arctan(\frac{\pi}{4}) $.

Подставим замену в интеграл. Знаменатель $ 4 + x^2 = 4 + (2\tan t)^2 = 4(1 + \tan^2 t) = 4\sec^2 t $.

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{4 + x^2} = \int_{\arctan(-\frac{\pi}{4})}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} \frac{2\sec^2(t) dt}{4\sec^2(t)} = \int_{\arctan(-\frac{\pi}{4})}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} [t]_{\arctan(-\frac{\pi}{4})}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} $.

Вычисляем значение: $ \frac{1}{2} (\arctan(\frac{\pi}{4}) - \arctan(-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2} (\arctan(\frac{\pi}{4}) + \arctan(\frac{\pi}{4})) = \arctan(\frac{\pi}{4}) $.

Ответ: $ \arctan(\frac{\pi}{4}) $.

е) Вычислим интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ x = 3\sin(t) $, тогда $ t = \arcsin(\frac{x}{3}) $.

Дифференциал $ dx = 3\cos(t)dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = -\frac{\pi}{2} $, то $ \sin(t) = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6} $, следовательно $ t = \arcsin(-\frac{\pi}{6}) $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ \sin(t) = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6} $, следовательно $ t = \arcsin(\frac{\pi}{6}) $.

Подставим замену в подынтегральное выражение. Знаменатель $ \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - (3\sin t)^2} = \sqrt{9(1 - \sin^2 t)} = \sqrt{9\cos^2 t} = 3|\cos t| $. Так как $ t $ изменяется от $ \arcsin(-\frac{\pi}{6}) $ до $ \arcsin(\frac{\pi}{6}) $, что находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, то $ \cos t > 0 $ и $ |\cos t| = \cos t $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \int_{\arcsin(-\frac{\pi}{6})}^{\arcsin(\frac{\pi}{6})} \frac{3\cos(t)dt}{3\cos(t)} = \int_{\arcsin(-\frac{\pi}{6})}^{\arcsin(\frac{\pi}{6})} 1 dt = [t]_{\arcsin(-\frac{\pi}{6})}^{\arcsin(\frac{\pi}{6})} $.

Вычисляем значение: $ \arcsin(\frac{\pi}{6}) - \arcsin(-\frac{\pi}{6}) = \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \arcsin(\frac{\pi}{6}) = 2\arcsin(\frac{\pi}{6}) $.

Ответ: $ 2\arcsin(\frac{\pi}{6}) $.