Номер 6.69, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.69, страница 195.

6.69 а) $y = x^2 - 5$ и $y = -0.5x^2 + 1$;

б) $y = x^2 - 4x + 1$ и $y = -2x^2 + 8x + 1$.

а) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 5$ и $y = -0,5x^2 + 1$ необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 5 = -0,5x^2 + 1$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую:

$x^2 + 0,5x^2 = 1 + 5$

$1,5x^2 = 6$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{6}{1,5}$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -2$

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, подставив их в любое из исходных уравнений. Используем $y = x^2 - 5$:

При $x_1 = 2$: $y_1 = (2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = (-2)^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(2; -1)$ и $(-2; -1)$.

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 1$ и $y = -2x^2 + 8x + 1$ приравняем их правые части:

$x^2 - 4x + 1 = -2x^2 + 8x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-4x - 8x) + (1 - 1) = 0$

$3x^2 - 12x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся за скобки общий множитель $3x$:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 4 = 0$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 4$

Найдем соответствующие значения $y$, подставив их в любое из исходных уравнений. Используем $y = x^2 - 4x + 1$:

При $x_1 = 0$: $y_1 = (0)^2 - 4(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.

При $x_2 = 4$: $y_2 = (4)^2 - 4(4) + 1 = 16 - 16 + 1 = 1$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(0; 1)$ и $(4; 1)$.