Номер 6.64, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.64, страница 195.

Условие.

Примените основные свойства интегралов при вычислении интегралов (6.64—6.66):

6.64 а) $\int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{3} x dx;$

б) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx;$

в) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} + \int_{2}^{e} \frac{dx}{x};$

г) $\int_{0}^{1} e^x dx + \int_{1}^{2} e^x dx + \int_{2}^{3} e^x dx;$

д) $\int_{0}^{1} \sin x dx + \int_{1}^{2} \sin x dx + \int_{2}^{\pi} \sin x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Применяем свойство аддитивности определенного интеграла, согласно которому $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$. Это позволяет объединить два интеграла в один: $\int_0^1 x dx + \int_1^3 x dx = \int_0^3 x dx$. Теперь вычислим полученный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_0^3 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2}$. Ответ: $\frac{9}{2}$.

б) Используем свойство аддитивности, чтобы объединить интегралы с одинаковой подынтегральной функцией и смежными пределами интегрирования: $\int_0^\pi \sin x dx + \int_\pi^{2\pi} \sin x dx = \int_0^{2\pi} \sin x dx$. Вычислим интеграл: $\int_0^{2\pi} \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_0^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos(0)) = -1 - (-1) = 0$. Ответ: $0$.

в) На основании свойства аддитивности $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$ объединяем интегралы: $\int_1^2 \frac{dx}{x} + \int_2^e \frac{dx}{x} = \int_1^e \frac{dx}{x}$. Вычисляем полученный интеграл: $\int_1^e \frac{dx}{x} = \left[ \ln|x| \right]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$. Ответ: $1$.

г) Обобщенное свойство аддитивности позволяет объединить три интеграла: $\int_0^1 e^x dx + \int_1^2 e^x dx + \int_2^3 e^x dx = \int_0^3 e^x dx$. Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_0^3 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^3 = e^3 - e^0 = e^3 - 1$. Ответ: $e^3 - 1$.

д) Используем свойство аддитивности для суммы трех интегралов с последовательными пределами интегрирования: $\int_0^1 \sin x dx + \int_1^2 \sin x dx + \int_2^\pi \sin x dx = \int_0^\pi \sin x dx$. Вычисляем полученный интеграл: $\int_0^\pi \sin x dx = \left[ -\cos x \right]_0^\pi = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$. Ответ: $2$.