Номер 6.60, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.60, страница 190.

6.60* Точка движется по прямой. Зависимость её скорости от времени задана формулой $v = f(t)$. График функции v изображён на рисунке 156, а–в.

a) Какой физический смысл имеет площадь $S$ фигуры, закрашенной на рисунке?

$v = v_0$

$v = at$

$v = v_0 + at$

a)

б)

в)

Рис. 156

б) Определите по рисунку путь, пройденный точкой за промежуток времени: $[0; t_1]; [0; t_2]; [t_1; t_2]$, считая, что 1 единица на оси $Ot$ соответствует 1 с, 1 единица на оси $Ov$ соответствует 1 м/с.

а) В кинематике путь, пройденный телом при прямолинейном движении в одном направлении, определяется как интеграл от скорости по времени: $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Геометрически, определенный интеграл от неотрицательной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ равен площади фигуры, ограниченной графиком этой функции, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

На представленных графиках по оси абсцисс отложено время $t$, а по оси ординат — скорость $v$. Следовательно, закрашенная площадь $S$, ограниченная графиком скорости $v=f(t)$, осью времени $Ot$ и вертикальными прямыми $t=t_1$ и $t=t_2$, численно равна пути, который прошла точка за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$.

Ответ: Физический смысл площади $S$ — это путь, пройденный точкой за промежуток времени $[t_1; t_2]$.

б) Путь, пройденный точкой за указанные промежутки времени, можно найти, вычислив площадь под графиком скорости на этих промежутках. Будем считать, что 1 единица на оси $Ot$ равна 1 с, а 1 единица на оси $Ov$ равна 1 м/с. Тогда численное значение площади будет соответствовать пути в метрах.

Для рисунка а) (равномерное движение, $v=v_0$):
Путь — это площадь прямоугольника.

• За промежуток $[0; t_1]$: путь $s = v_0 \cdot t_1$.
• За промежуток $[0; t_2]$: путь $s = v_0 \cdot t_2$.
• За промежуток $[t_1; t_2]$: путь $s = v_0 \cdot (t_2 - t_1)$.

Для рисунка б) (равноускоренное движение из состояния покоя, $v=at$):
Путь — это площадь треугольника или трапеции.

• За промежуток $[0; t_1]$: путь $s = \frac{1}{2} t_1 \cdot v(t_1) = \frac{1}{2} t_1 \cdot (at_1) = \frac{at_1^2}{2}$.
• За промежуток $[0; t_2]$: путь $s = \frac{1}{2} t_2 \cdot v(t_2) = \frac{1}{2} t_2 \cdot (at_2) = \frac{at_2^2}{2}$.
• За промежуток $[t_1; t_2]$: путь $s = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1) = \frac{at_1+at_2}{2} \cdot (t_2 - t_1) = \frac{a(t_2^2 - t_1^2)}{2}$.

Для рисунка в) (равноускоренное движение с начальной скоростью, $v=v_0+at$):
Путь — это площадь трапеции.

• За промежуток $[0; t_1]$: путь $s = \frac{v(0)+v(t_1)}{2} \cdot t_1 = \frac{v_0 + (v_0+at_1)}{2} \cdot t_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$.
• За промежуток $[0; t_2]$: путь $s = \frac{v(0)+v(t_2)}{2} \cdot t_2 = \frac{v_0 + (v_0+at_2)}{2} \cdot t_2 = v_0 t_2 + \frac{at_2^2}{2}$.
• За промежуток $[t_1; t_2]$: путь $s = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1) = \frac{(v_0+at_1) + (v_0+at_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1) = v_0(t_2-t_1) + \frac{a(t_2^2 - t_1^2)}{2}$.

Ответ:
Для рисунка а): за $[0; t_1]$ путь равен $v_0 t_1$; за $[0; t_2]$ — $v_0 t_2$; за $[t_1; t_2]$ — $v_0(t_2-t_1)$.
Для рисунка б): за $[0; t_1]$ путь равен $\frac{at_1^2}{2}$; за $[0; t_2]$ — $\frac{at_2^2}{2}$; за $[t_1; t_2]$ — $\frac{a(t_2^2-t_1^2)}{2}$.
Для рисунка в): за $[0; t_1]$ путь равен $v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2}$; за $[0; t_2]$ — $v_0 t_2 + \frac{at_2^2}{2}$; за $[t_1; t_2]$ — $v_0(t_2-t_1) + \frac{a(t_2^2-t_1^2)}{2}$.