Номер 6.65, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.65, страница 195.

6.65 a) $\int_{2}^{3} 3x \, dx;$

б) $\int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx;$

В) $\int_{1}^{e} \frac{dx}{2x}.$

а) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3x $. Используя табличное значение для степенной функции $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:

$ F(x) = \int 3x \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 3 \frac{x^2}{2} $.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$ \int_{2}^{3} 3x \, dx = \left. 3 \frac{x^2}{2} \right|_{2}^{3} = 3 \frac{3^2}{2} - 3 \frac{2^2}{2} = 3 \cdot \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{4}{2} = \frac{27}{2} - \frac{12}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 $.

Ответ: $7,5$.

б) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = -2x^4 $:

$ F(x) = \int (-2x^4) \, dx = -2 \int x^4 \, dx = -2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = -2 \frac{x^5}{5} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{2} (-2x^4) \, dx = \left. \left(-\frac{2x^5}{5}\right) \right|_{-1}^{2} = \left(-\frac{2 \cdot 2^5}{5}\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)^5}{5}\right) = \left(-\frac{2 \cdot 32}{5}\right) - \left(-\frac{2 \cdot (-1)}{5}\right) = -\frac{64}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{66}{5} = -13,2 $.

Ответ: $-13,2$.

в) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} \frac{dx}{2x} $.

Вынесем константу $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла: $ \int_{1}^{e} \frac{dx}{2x} = \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{x} $ — это натуральный логарифм $ \ln|x| $. Так как пределы интегрирования $ 1 $ и $ e $ являются положительными числами, знак модуля можно опустить: $ F(x) = \ln(x) $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} \left. \ln(x) \right|_{1}^{e} = \frac{1}{2} (\ln(e) - \ln(1)) $.

Зная, что $ \ln(e) = 1 $ и $ \ln(1) = 0 $, получаем:

$ \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} = 0,5 $.

Ответ: $0,5$.