Номер 6.62, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.62, страница 191.

6.62* На рисунке 157 изображён график функции $v = f(t)$, выражающий зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени движения.

O | 1 ... 6 t

Рис. 157

а) Определите приближённо путь, пройденный точкой за промежуток времени от 1 до 6.

б) Каким способом в задании «а» можно получить ответ, если функция $v = f(t)$ задана формулой?

v

7

1

$v = f(t)$

O 1 6 t

Рис. 157

a) Путь, пройденный точкой, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции скорости $v = f(t)$, осью времени $t$ и вертикальными прямыми $t=1$ и $t=6$. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Чтобы найти приближённое значение пути, оценим площадь этой фигуры, посчитав количество единичных квадратов, которые она покрывает на координатной сетке. Площадь одного такого квадрата соответствует $1 \times 1 = 1$ единице пути.

Сначала посчитаем количество целых квадратов, полностью находящихся под графиком в интервале от $t=1$ до $t=6$:

• В столбце от $t=1$ до $t=2$: 2 целых квадрата.
• В столбце от $t=2$ до $t=3$: 3 целых квадрата.
• В столбце от $t=3$ до $t=4$: 4 целых квадрата.
• В столбце от $t=4$ до $t=5$: 5 целых квадратов.
• В столбце от $t=5$ до $t=6$: 6 целых квадратов.

Сумма целых квадратов: $2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$.

Теперь оценим площадь, занимаемую неполными (частичными) квадратами вдоль кривой графика. Суммарная площадь этих частей приблизительно равна 4 полным квадратам.

Таким образом, общая площадь фигуры, а следовательно, и пройденный путь $S$, приблизительно равна сумме площадей целых и частичных квадратов:

$S \approx 20 + 4 = 24$.

Другой способ аппроксимации — использовать формулу площади трапеции, где основаниями служат значения скорости в начальный и конечный моменты времени, а высотой — промежуток времени. Из графика $v(1) = 2$