Страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.61* В задании 6.60 определите путь $S$, пройденный точкой за промежуток времени $[0; t]$. Верно ли, что в каждом случае площадь закрашенной фигуры равна $S(t_2) - S(t_1)$?

Для решения задачи необходимо найти функцию пути $S(t)$ для каждого из четырех случаев, представленных в задании 6.60, а затем проанализировать утверждение о площади фигуры.

Путь $S$, пройденный точкой за промежуток времени от $0$ до $t$, определяется как интеграл от модуля скорости (скорости) по времени: $S(t) = \int_0^t |v(\tau)| d\tau$.

а)

В данном случае график скорости — это прямая $v(t) = 4$ м/с. Скорость постоянна и положительна.

Путь, пройденный точкой за время $t$:$S(t) = \int_0^t |4| d\tau = \int_0^t 4 d\tau = [4\tau]_0^t = 4t$.

Ответ: $S(t) = 4t$ (м).

б)

График скорости — прямая, проходящая через начало координат: $v(t) = 2t$ м/с. Скорость линейно возрастает и неотрицательна при $t \ge 0$.

Путь, пройденный точкой за время $t$:$S(t) = \int_0^t |2\tau| d\tau = \int_0^t 2\tau d\tau = [2 \frac{\tau^2}{2}]_0^t = t^2$.

Ответ: $S(t) = t^2$ (м).

в)

График скорости — прямая $v(t) = -3$ м/с. Скорость постоянна и отрицательна. Путь является интегралом от модуля скорости.

Путь, пройденный точкой за время $t$:$S(t) = \int_0^t |-3| d\tau = \int_0^t 3 d\tau = [3\tau]_0^t = 3t$.

Ответ: $S(t) = 3t$ (м).

г)

Движение описывается кусочно-линейной функцией скорости. На всем интервале $t \in [0; 7]$ скорость $v(t) \ge 0$, поэтому $|v(t)| = v(t)$.

1. На участке $0 \le t \le 2$ с: $v(t) = 2t$.
$S(t) = \int_0^t 2\tau d\tau = t^2$.К моменту $t=2$ с путь равен $S(2) = 2^2 = 4$ м.

2. На участке $2 < t \le 5$ с: $v(t) = 4$.
Путь $S(t)$ равен сумме пути, пройденного до $t=2$ с, и пути, пройденного с $2$ с до $t$:
$S(t) = S(2) + \int_2^t 4 d\tau = 4 + [4\tau]_2^t = 4 + (4t - 4 \cdot 2) = 4t - 4$.К моменту $t=5$ с путь равен $S(5) = 4 \cdot 5 - 4 = 16$ м.

3. На участке $5 < t \le 7$ с: $v(t) = -2t + 14$.
Путь $S(t)$ равен сумме пути, пройденного до $t=5$ с, и пути, пройденного с $5$ с до $t$:
$S(t) = S(5) + \int_5^t (-2\tau + 14) d\tau = 16 + [-\tau^2 + 14\tau]_5^t = 16 + (-t^2+14t) - (-5^2+14 \cdot 5) = 16 - t^2 + 14t - (-25+70) = 16 - t^2 + 14t - 45 = -t^2 + 14t - 29$.

Ответ: Зависимость пути от времени является кусочно-заданной функцией:$S(t) = \begin{cases} t^2, & \text{при } 0 \le t \le 2 \text{ с} \\ 4t - 4, & \text{при } 2 < t \le 5 \text{ с} \\ -t^2 + 14t - 29, & \text{при } 5 < t \le 7 \text{ с} \end{cases}$ (в метрах).

Анализ утверждения о площади фигуры

Рассмотрим вторую часть вопроса: "Верно ли, что в каждом случае площадь закрашенной фигуры равна $S(t_2) - S(t_1)$?".

Путь, пройденный точкой за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, по определению равен разности значений функции пути в конечный и начальный моменты времени: $S(t_2) - S(t_1)$. Также путь можно вычислить как интеграл от модуля скорости по времени:
Путь$_{t_1 \to t_2} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

С другой стороны, "площадь закрашенной фигуры" на графике зависимости скорости от времени — это геометрическая площадь, заключенная между графиком $v(t)$ и осью времени на отрезке $[t_1, t_2]$. Эта площадь численно равна интегралу от модуля функции, то есть $A = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

Таким образом, обе части равенства, $S(t_2) - S(t_1)$ и "площадь закрашенной фигуры", представляют одну и ту же величину. Следовательно, утверждение является верным для всех четырех рассмотренных случаев.

Важно различать понятия пути и перемещения. Перемещение равно интегралу от проекции скорости ($\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$) и совпадает с путем, только если скорость не меняет свой знак. Например, в случае в), где $v(t) < 0$, перемещение $\Delta x = -3(t_2-t_1)$ является отрицательным, в то время как путь $S(t_2)-S(t_1) = 3(t_2-t_1)$ и площадь фигуры $A = 3(t_2-t_1)$ — положительные величины. Вопрос задачи касается именно пути $S$, поэтому равенство выполняется.

Ответ: Да, утверждение верно. В каждом случае площадь фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени, численно равна пройденному точкой пути $S(t_2) - S(t_1)$.

6.62* На рисунке 157 изображён график функции $v = f(t)$, выражающий зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени движения.

O | 1 ... 6 t

Рис. 157

а) Определите приближённо путь, пройденный точкой за промежуток времени от 1 до 6.

б) Каким способом в задании «а» можно получить ответ, если функция $v = f(t)$ задана формулой?

v

7

1

$v = f(t)$

O 1 6 t

Рис. 157

a) Путь, пройденный точкой, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции скорости $v = f(t)$, осью времени $t$ и вертикальными прямыми $t=1$ и $t=6$. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Чтобы найти приближённое значение пути, оценим площадь этой фигуры, посчитав количество единичных квадратов, которые она покрывает на координатной сетке. Площадь одного такого квадрата соответствует $1 \times 1 = 1$ единице пути.

Сначала посчитаем количество целых квадратов, полностью находящихся под графиком в интервале от $t=1$ до $t=6$:

• В столбце от $t=1$ до $t=2$: 2 целых квадрата.
• В столбце от $t=2$ до $t=3$: 3 целых квадрата.
• В столбце от $t=3$ до $t=4$: 4 целых квадрата.
• В столбце от $t=4$ до $t=5$: 5 целых квадратов.
• В столбце от $t=5$ до $t=6$: 6 целых квадратов.

Сумма целых квадратов: $2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$.

Теперь оценим площадь, занимаемую неполными (частичными) квадратами вдоль кривой графика. Суммарная площадь этих частей приблизительно равна 4 полным квадратам.

Таким образом, общая площадь фигуры, а следовательно, и пройденный путь $S$, приблизительно равна сумме площадей целых и частичных квадратов:

$S \approx 20 + 4 = 24$.

Другой способ аппроксимации — использовать формулу площади трапеции, где основаниями служат значения скорости в начальный и конечный моменты времени, а высотой — промежуток времени. Из графика $v(1) = 2$