Страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.37 Что называют:

а) нижней интегральной суммой;

б) верхней интегральной суммой?

а) нижней интегральной суммой;

Пусть функция $f(x)$ определена и ограничена на отрезке $[a, b]$. Рассмотрим разбиение $T$ этого отрезка на $n$ частичных отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Длину каждого частичного отрезка $[x_{i-1}, x_i]$ обозначим как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.

Так как функция $f(x)$ ограничена на всем отрезке $[a, b]$, она ограничена и на каждом его частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$. На каждом таком отрезке найдем точную нижнюю грань (инфимум) значений функции. Обозначим это значение как $m_i$: $m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$.

Сумма произведений наименьших значений функции $m_i$ на длины соответствующих частичных отрезков $\Delta x_i$ называется нижней интегральной суммой (или нижней суммой Дарбу) для функции $f(x)$ и заданного разбиения $T$.

Формула для вычисления нижней интегральной суммы $s_T$: $s_T = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i = m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 + \dots + m_n \Delta x_n$.

Геометрически нижняя интегральная сумма — это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, которые "вписаны" под график функции $y=f(x)$. Основанием каждого такого прямоугольника является частичный отрезок $[x_{i-1}, x_i]$, а высотой — наименьшее значение функции на этом отрезке ($m_i$). Эта площадь дает оценку снизу для площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Нижней интегральной суммой для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ при заданном разбиении $T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ называется сумма $s_T = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$, где $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ — это длина $i$-го частичного отрезка, а $m_i$ — это точная нижняя грань (инфимум) значений функции $f(x)$ на этом отрезке.

б) верхней интегральной суммой?

Используем те же начальные условия: функция $f(x)$ определена и ограничена на отрезке $[a, b]$, который разбит на частичные отрезки $[x_{i-1}, x_i]$ точками разбиения $T$.

На каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ найдем точную верхнюю грань (супремум) значений функции. Обозначим это значение как $M_i$: $M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$.

Сумма произведений наибольших значений функции $M_i$ на длины соответствующих частичных отрезков $\Delta x_i$ называется верхней интегральной суммой (или верхней суммой Дарбу) для функции $f(x)$ и заданного разбиения $T$.

Формула для вычисления верхней интегральной суммы $S_T$: $S_T = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i = M_1 \Delta x_1 + M_2 \Delta x_2 + \dots + M_n \Delta x_n$.

Геометрически верхняя интегральная сумма — это площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, которые "описаны" около графика функции $y=f(x)$. Основанием каждого прямоугольника также является частичный отрезок $[x_{i-1}, x_i]$, но его высота равна наибольшему значению функции на этом отрезке ($M_i$). Эта площадь дает оценку сверху для площади той же криволинейной трапеции.

Ответ: Верхней интегральной суммой для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ при заданном разбиении $T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ называется сумма $S_T = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i$, где $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ — это длина $i$-го частичного отрезка, а $M_i$ — это точная верхняя грань (супремум) значений функции $f(x)$ на этом отрезке.

6.38 В чём заключается метод приближённого вычисления определённого интеграла?

Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене задачи нахождения площади криволинейной трапеции (которая геометрически представляет интеграл $\int_a^b f(x) \, dx$) на более простую задачу вычисления суммы площадей элементарных геометрических фигур. Этими фигурами аппроксимируется (приближается) исходная криволинейная трапеция.

Общий алгоритм действий следующий:

1. Отрезок интегрирования $[a, b]$ разбивается на $n$ малых, как правило, равных подынтервалов точками $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$, где $x_0 = a$ и $x_n = b$. Длина каждого такого подынтервала (шаг интегрирования) равна $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
2. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ подынтегральная функция $f(x)$ заменяется более простой (аппроксимирующей) функцией. Чаще всего используются многочлены нулевой степени (константы) или первой степени (линейные функции).
3. Вычисляется площадь фигуры под графиком этой простой функции на каждом подынтервале.
4. Полученные площади суммируются, и эта сумма принимается за приближённое значение интеграла. Точность приближения, как правило, тем выше, чем больше число подынтервалов $n$.

Наиболее распространёнными являются следующие методы.

На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ криволинейная трапеция заменяется прямоугольником с основанием $\Delta x$ и высотой, равной значению функции $f(x)$ в некоторой характерной точке этого подынтервала. В зависимости от выбора этой точки различают:

• Метод левых прямоугольников: высота равна значению функции в левой точке подынтервала, $f(x_{i-1})$.

  Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \Delta x (f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1}))$.

• Метод правых прямоугольников: высота равна значению функции в правой точке подынтервала, $f(x_i)$.

  Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \Delta x (f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n))$.

• Метод средних прямоугольников: высота равна значению функции в средней точке подынтервала, $f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$. Этот метод часто даёт более точный результат.

  Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) \Delta x$.

Этот метод, как правило, точнее метода прямоугольников. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ дуга кривой $y=f(x)$ заменяется хордой, соединяющей точки $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$. В результате криволинейная трапеция заменяется обычной прямоугольной трапецией с основаниями $f(x_{i-1})$ и $f(x_i)$ и высотой $\Delta x$.

Площадь одной такой трапеции равна $\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x$. Суммируя площади всех трапеций, получаем общую формулу:

$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x = \frac{\Delta x}{2} (f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n))$.

Это ещё более точный метод. Здесь отрезок $[a, b]$ разбивается на чётное число $n$ подынтервалов. На каждой паре смежных подынтервалов, например $[x_{i-2}, x_i]$, дуга кривой $y=f(x)$ аппроксимируется параболой (многочленом второй степени), проходящей через три точки: $(x_{i-2}, f(x_{i-2}))$, $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$.

Вычисление площади под параболой и суммирование по всем парам подынтервалов приводит к формуле Симпсона:

$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$.

Характерной чертой формулы является чередование коэффициентов: 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1.

Применение этих методов особенно важно в случаях, когда первообразную функции $f(x)$ невозможно выразить через элементарные функции (например, для интеграла $\int e^{-x^2} dx$) или когда подынтегральная функция задана не аналитически, а в виде таблицы значений, полученных в ходе эксперимента.

Ответ: Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене подынтегральной функции на каждом из малых отрезков разбиения более простой функцией (например, константой, линейной функцией или параболой) и последующем суммировании площадей полученных простых фигур (прямоугольников, трапеций и т.д.) для получения численной оценки значения интеграла.

6.39 Вычислите приближённо определённый интеграл:

а) $\int_{1}^{2} 2x dx$;

б) $\int_{3}^{4} 3x dx$.

а)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{1}^{2} 2x dx $. Хотя в задании указано вычислить интеграл "приближённо", для данной линейной функции можно найти точное значение с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Это будет наилучшим возможным приближением.

Формула Ньютона-Лейбница гласит:

$ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $

где $ F(x) $ — это первообразная для функции $ f(x) $.

В нашем случае подынтегральная функция $ f(x) = 2x $. Найдем её первообразную:

$ F(x) = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C $

Для вычисления определенного интеграла можно взять любую первообразную, например, при $ C = 0 $, то есть $ F(x) = x^2 $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a = 1 $ и $ b = 2 $:

$ \int_{1}^{2} 2x dx = F(2) - F(1) = (2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3 $

Геометрически этот интеграл представляет собой площадь трапеции, ограниченной прямыми $ y = 2x $, $ x = 1 $, $ x = 2 $ и осью $ Ox $. Площадь этой трапеции также равна 3, что подтверждает точность вычисления.

Ответ: 3

б)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{3}^{4} 3x dx $. Аналогично предыдущему пункту, найдем точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Подынтегральная функция $ f(x) = 3x $. Найдем её первообразную:

$ F(x) = \int 3x \,dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{2}x^2 + C $

Возьмем первообразную $ F(x) = \frac{3}{2}x^2 $ (при $ C = 0 $).

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a = 3 $ и $ b = 4 $:

$ \int_{3}^{4} 3x dx = F(4) - F(3) = \frac{3}{2}(4)^2 - \frac{3}{2}(3)^2 $

Выполним вычисления:

$ \frac{3}{2} \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{48}{2} - \frac{27}{2} = \frac{48 - 27}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 $

Результат является точным значением интеграла.

Ответ: 10.5

6.40 a) В предыдущем задании вычислите определённый интеграл как площадь треугольника и сравните результаты вычислений.

б) Объясните, почему для линейной функции приближённый метод вычисления определённого интеграла даёт точный результат.

а)

Для ответа на этот вопрос необходимо знать, какой интеграл вычислялся в предыдущем задании. Предположим, что в задании 6.39 требовалось вычислить определённый интеграл $\int_0^3 x \,dx$ с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_0^3 x \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Теперь вычислим этот интеграл как площадь фигуры. Определённый интеграл от неотрицательной функции на отрезке геометрически равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью абсцисс и вертикальными прямыми, соответствующими пределам интегрирования.

В нашем случае подынтегральная функция $f(x) = x$. На отрезке $[0, 3]$ эта функция задаёт фигуру, которая является прямоугольным треугольником. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(3, f(3))$, то есть $(3, 3)$.

Катеты этого прямоугольного треугольника равны:

• Основание (катет вдоль оси Ox): $3 - 0 = 3$.
• Высота (катет вдоль прямой $x=3$): $f(3) - 0 = 3$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$.

Сравнивая результаты, мы видим, что значение, полученное при вычислении интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (4.5), и значение, полученное при вычислении площади треугольника (4.5), полностью совпадают.

Ответ: Значение интеграла, вычисленное как площадь треугольника, равно 4.5, что совпадает с результатом, полученным по формуле Ньютона-Лейбница.

б)

Приближённые методы вычисления определённого интеграла, например, метод трапеций, основаны на замене (аппроксимации) графика подынтегральной функции на каждом малом отрезке интегрирования более простой функцией, как правило, отрезком прямой.

Рассмотрим метод трапеций. Отрезок интегрирования $[a, b]$ разбивается на $n$ малых отрезков $[x_{i}, x_{i+1}]$. На каждом таком отрезке кривая $y=f(x)$ заменяется хордой — отрезком прямой, соединяющим точки $(x_i, f(x_i))$ и $(x_{i+1}, f(x_{i+1}))$. В результате площадь под кривой на этом малом отрезке приближенно равна площади трапеции.

Линейная функция имеет вид $f(x) = kx + c$, и её график сам по себе является прямой линией.

Когда мы применяем приближённый метод (метод трапеций) к линейной функции, происходит следующее:

1. Аппроксимирующая хорда, которая соединяет любые две точки на графике линейной функции, полностью совпадает с самим графиком функции между этими точками.
2. Это означает, что "приближение" графика отрезком прямой на самом деле является его точным представлением. Погрешность аппроксимации равна нулю.
3. Следовательно, площадь трапеции под хордой в точности равна площади фигуры под графиком линейной функции на данном отрезке.

Поскольку на каждом малом отрезке вычисляется точная площадь, то и их сумма, которая даёт значение интеграла по всему отрезку $[a, b]$, также будет точной, а не приближённой.

Математически для одного отрезка $[a,b]$ формула трапеций даёт $S \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$. Для $f(x)=kx+c$ это будет $\frac{b-a}{2}((ka+c)+(kb+c))$. Точный интеграл $\int_a^b(kx+c)dx = [\frac{kx^2}{2}+cx]_a^b = \frac{k}{2}(b^2-a^2)+c(b-a) = (b-a)(\frac{k(a+b)}{2}+c)$. Легко убедиться, что оба выражения тождественно равны.

Ответ: Приближённый метод вычисления определённого интеграла (например, метод трапеций) даёт точный результат для линейной функции, потому что её график — это прямая линия. Аппроксимация графика отрезками прямых, на которой основан метод, в этом случае является не приближением, а точным представлением функции, поэтому погрешность вычислений равна нулю.

6.41 Вычислите приближённо определённый интеграл:

a) $\int_{1}^{2} x^2 dx;$

б) $\int_{1}^{2} (-x^2) dx.$

Для вычисления данных определённых интегралов можно использовать как точную формулу Ньютона-Лейбница, так и численные методы для приближённого расчёта. Поскольку в задании требуется найти приближённое значение, мы воспользуемся методом трапеций, который является одним из распространённых способов численного интегрирования. Для справки также приведём точное значение интеграла.

Сначала найдём точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = x^2$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$\int_{1}^{2} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.333...$

Теперь вычислим интеграл приближённо методом трапеций. Разобьём отрезок интегрирования $[1, 2]$ на $n=5$ равных частей. Шаг интегрирования будет равен $\Delta x = \frac{2-1}{5} = 0.2$.

Определим значения функции $f(x)=x^2$ в узловых точках:

• $x_0 = 1.0, \quad y_0 = f(1.0) = 1.00$
• $x_1 = 1.2, \quad y_1 = f(1.2) = 1.44$
• $x_2 = 1.4, \quad y_2 = f(1.4) = 1.96$
• $x_3 = 1.6, \quad y_3 = f(1.6) = 2.56$
• $x_4 = 1.8, \quad y_4 = f(1.8) = 3.24$
• $x_5 = 2.0, \quad y_5 = f(2.0) = 4.00$

Формула трапеций имеет вид:

$\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{2}(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \dots + 2y_{n-1} + y_n)$

Подставляем наши данные:

$\int_{1}^{2} x^2 dx \approx \frac{0.2}{2}(1.00 + 2 \cdot 1.44 + 2 \cdot 1.96 + 2 \cdot 2.56 + 2 \cdot 3.24 + 4.00)$

$\int_{1}^{2} x^2 dx \approx 0.1(1 + 2.88 + 3.92 + 5.12 + 6.48 + 4) = 0.1(23.4) = 2.34$

Полученное приближённое значение $2.34$ достаточно близко к точному значению $\frac{7}{3}$.

Ответ: $2.34$

Воспользуемся свойством линейности интеграла: $\int (-f(x))dx = -\int f(x)dx$.

Точное значение интеграла:

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx = - \int_{1}^{2} x^2 dx = -\frac{7}{3} \approx -2.333...$

Для приближённого вычисления также можно использовать результат из пункта а):

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx \approx -2.34$

Проверим это, применив метод трапеций напрямую к функции $g(x) = -x^2$. Значения функции в узловых точках будут такими же, как в пункте а), но с противоположным знаком.

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx \approx \frac{0.2}{2}(-1.00 + 2(-1.44) + 2(-1.96) + 2(-2.56) + 2(-3.24) - 4.00)$

$\int_{1}^{2} (-x^2) dx \approx 0.1(-1 - 2.88 - 3.92 - 5.12 - 6.48 - 4) = 0.1(-23.4) = -2.34$

Результат совпадает.

Ответ: $-2.34$

6.42 В предыдущем задании сравните результаты вычислений для функций $y=x^2$ и $y=-x^2$. Объясните, почему они отличаются только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции на отрезке $[1; 2]$ в случае «а»; в случае «б»?

Результаты вычислений (определенных интегралов) для функций $y = x^2$ и $y = -x^2$ на произвольном отрезке $[a, b]$ отличаются только знаком. Это следует из свойства определенного интеграла:

$\int_{a}^{b} (-x^2) dx = - \int_{a}^{b} x^2 dx$

Геометрически это объясняется тем, что график функции $y = -x^2$ является зеркальным отражением графика функции $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Криволинейная трапеция, образованная графиком $y = x^2$, будет расположена над осью Ox (если интервал не включает 0 и состоит из положительных или отрицательных чисел), и ее площадь, вычисленная через интеграл, будет положительной. Фигура, образованная графиком $y = -x^2$, будет расположена под осью Ox, и ее «ориентированная площадь» (значение интеграла) будет отрицательной. По абсолютной величине эти площади равны из-за симметрии.

в случае «а»

Речь идет о функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$. Поскольку на этом отрезке функция неотрицательна ($x^2 > 0$ для $x \in [1; 2]$), площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу:

$S_a = \int_{1}^{2} x^2 dx$

Используя формулу Ньютона-Лейбница, находим первообразную для $f(x) = x^2$, которая равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$S_a = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $S_a = \frac{7}{3}$

в случае «б»

Речь идет о функции $y = -x^2$ на отрезке $[1; 2]$. На этом отрезке функция неположительна ($-x^2 < 0$ для $x \in [1; 2]$). Площадь геометрической фигуры не может быть отрицательной. Для фигуры, расположенной под осью Ox, ее площадь равна модулю определенного интеграла, или интегралу от функции, взятой с противоположным знаком.

$S_b = \left| \int_{1}^{2} (-x^2) dx \right| = \left| - \int_{1}^{2} x^2 dx \right|$

Как мы уже вычислили в пункте «а», $\int_{1}^{2} x^2 dx = \frac{7}{3}$.

$S_b = \left| -\frac{7}{3} \right| = \frac{7}{3}$

Или другим способом:

$S_b = - \int_{1}^{2} (-x^2) dx = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Площади в случаях «а» и «б» равны, что и ожидалось из-за симметрии графиков.

Ответ: $S_b = \frac{7}{3}$

6.43 Вычислите приближённо определённый интеграл при заданном $\Delta x$:

a) $\int_{-1}^{1} x dx, \Delta x = 0,2;$

б) $\int_{-1}^{1} x^3 dx, \Delta x = 0,2;$

в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx, \Delta x = \frac{\pi}{20};$

г) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx, \Delta x = \frac{\pi}{20}.$

а)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{-1}^{1} x dx $ с шагом $ \Delta x = 0,2 $.

Для приближенного вычисления определенного интеграла воспользуемся методом трапеций. Формула метода трапеций для интеграла $ \int_{a}^{b} f(x) dx $ имеет вид:

$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right] $

где $ [a, b] $ — отрезок интегрирования, $ \Delta x $ — шаг разбиения, $ n = \frac{b-a}{\Delta x} $ — количество отрезков разбиения, а $ x_i = a + i \cdot \Delta x $ — узлы сетки.

В данном случае, подынтегральная функция $ f(x) = x $, отрезок интегрирования $ [a, b] = [-1, 1] $, и шаг $ \Delta x = 0,2 $.

Найдем количество отрезков разбиения $ n $:$ n = \frac{1 - (-1)}{0,2} = \frac{2}{0,2} = 10 $.

Узлы сетки $ x_i $ ($ i = 0, 1, ..., 10 $): $ x_0 = -1, x_1 = -0,8, x_2 = -0,6, x_3 = -0,4, x_4 = -0,2, x_5 = 0, x_6 = 0,2, x_7 = 0,4, x_8 = 0,6, x_9 = 0,8, x_{10} = 1 $.

Приближенное значение интеграла равно:$ I \approx \frac{0,2}{2} [f(-1) + 2f(-0,8) + 2f(-0,6) + \dots + 2f(0,8) + f(1)] $$ I \approx 0,1 [-1 + 2(-0,8) + 2(-0,6) + 2(-0,4) + 2(-0,2) + 2(0) + 2(0,2) + 2(0,4) + 2(0,6) + 2(0,8) + 1] $

Поскольку подынтегральная функция $ f(x) = x $ является нечетной ($ f(-x) = -x = -f(x) $), а отрезок интегрирования $ [-1, 1] $ симметричен относительно нуля, то значения функции в симметричных точках противоположны по знаку: $ f(-c) = -f(c) $. Сумма в квадратных скобках упрощается:$ S = (f(-1) + f(1)) + 2(f(-0,8) + f(0,8)) + 2(f(-0,6) + f(0,6)) + 2(f(-0,4) + f(0,4)) + 2(f(-0,2) + f(0,2)) + 2f(0) $$ S = (-1+1) + 2(-0,8+0,8) + 2(-0,6+0,6) + 2(-0,4+0,4) + 2(-0,2+0,2) + 2(0) = 0 $.

Таким образом, приближенное значение интеграла:$ I \approx 0,1 \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

б)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{-1}^{1} x^3 dx $ с шагом $ \Delta x = 0,2 $.

Используем метод трапеций. Подынтегральная функция $ f(x) = x^3 $, отрезок $ [a, b] = [-1, 1] $, шаг $ \Delta x = 0,2 $.

Количество отрезков разбиения $ n = \frac{1 - (-1)}{0,2} = 10 $. Узлы сетки такие же, как в пункте а).

Приближенное значение интеграла по формуле трапеций:$ I \approx \frac{0,2}{2} [f(-1) + 2\sum_{i=1}^{9} f(x_i) + f(1)] $

Функция $ f(x) = x^3 $ является нечетной ($ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) $), а отрезок интегрирования $ [-1, 1] $ симметричен. Как и в предыдущем пункте, это приводит к тому, что сумма значений функции в симметричных точках равна нулю.$ f(-1) + f(1) = (-1)^3 + 1^3 = -1 + 1 = 0 $.$ f(-0,8) + f(0,8) = (-0,8)^3 + 0,8^3 = -0,512 + 0,512 = 0 $.Аналогично, все остальные пары симметричных точек в сумме дают ноль. Средняя точка $ x_5 = 0 $, и $ f(0) = 0^3 = 0 $.Следовательно, вся сумма в формуле трапеций равна нулю.

Таким образом, приближенное значение интеграла:$ I \approx 0,1 \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

в)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x dx $ с шагом $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Используем метод трапеций. Подынтегральная функция $ f(x) = \sin x $, отрезок $ [a, b] = [-\pi/2, \pi/2] $, шаг $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Найдем количество отрезков разбиения $ n $:$ n = \frac{\pi/2 - (-\pi/2)}{\pi/20} = \frac{\pi}{\pi/20} = 20 $.

Узлы сетки: $ x_i = -\frac{\pi}{2} + i \cdot \frac{\pi}{20} $ для $ i = 0, 1, ..., 20 $.

Функция $ f(x) = \sin x $ является нечетной ($ \sin(-x) = -\sin x $), а отрезок интегрирования $ [-\pi/2, \pi/2] $ симметричен относительно нуля. Разбиение также симметрично: $ x_i = -x_{20-i} $. Например, $ x_1 = -9\pi/20 $ и $ x_{19} = 9\pi/20 $.

Сумма в формуле трапеций:$ S = f(-\pi/2) + 2\sum_{i=1}^{19} f(x_i) + f(\pi/2) $$ S = (\sin(-\pi/2) + \sin(\pi/2)) + 2\sum_{i=1}^{9} (\sin(x_i) + \sin(x_{20-i})) + 2\sin(x_{10}) $$ x_{10} = -\pi/2 + 10 \cdot \pi/20 = 0 $.$ S = (-1 + 1) + 2\sum_{i=1}^{9} (\sin(x_i) - \sin(x_i)) + 2\sin(0) = 0 + 2\sum_{i=1}^{9}(0) + 2(0) = 0 $.

Таким образом, приближенное значение интеграла:$ I \approx \frac{\pi/20}{2} \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

г)

Требуется вычислить приближенное значение интеграла $ \int_{0}^{\pi} \cos x dx $ с шагом $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Используем метод трапеций. Подынтегральная функция $ f(x) = \cos x $, отрезок $ [a, b] = [0, \pi] $, шаг $ \Delta x = \frac{\pi}{20} $.

Найдем количество отрезков разбиения $ n $:$ n = \frac{\pi - 0}{\pi/20} = 20 $.

Узлы сетки: $ x_i = i \cdot \frac{\pi}{20} $ для $ i = 0, 1, ..., 20 $.

Функция $ f(x) = \cos x $ обладает свойством симметрии относительно точки $ x=\pi/2 $: $ \cos(x) = -\cos(\pi-x) $. Наше разбиение симметрично относительно точки $ x_{10} = 10 \cdot \pi/20 = \pi/2 $, так как $ x_i + x_{20-i} = i\frac{\pi}{20} + (20-i)\frac{\pi}{20} = \pi $.Следовательно, $ f(x_i) + f(x_{20-i}) = \cos(x_i) + \cos(\pi - x_i) = \cos(x_i) - \cos(x_i) = 0 $.

Сумма в формуле трапеций:$ S = f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{19} f(x_i) + f(x_{20}) $$ S = (f(x_0) + f(x_{20})) + 2\sum_{i=1}^{9} (f(x_i) + f(x_{20-i})) + 2f(x_{10}) $$ f(x_0) + f(x_{20}) = \cos(0) + \cos(\pi) = 1 + (-1) = 0 $.Каждая пара $ f(x_i) + f(x_{20-i}) $ в сумме равна нулю.Средняя точка $ x_{10} = \pi/2 $, и $ f(x_{10}) = \cos(\pi/2) = 0 $.Таким образом, $ S = 0 + 2\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0 $.

Приближенное значение интеграла:$ I \approx \frac{\pi/20}{2} \cdot 0 = 0 $.

Ответ: $0$

6.44 Почему в предыдущем задании все определённые интегралы равны нулю?

Все определённые интегралы в предыдущем задании равны нулю, поскольку в каждом из них выполняется свойство интеграла от нечетной функции по симметричному промежутку.

Данное свойство утверждает, что интеграл от любой нечетной функции $f(x)$ по симметричному относительно нуля промежутку вида $[-a, a]$ всегда равен нулю.$$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0 $$Напомним, что функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат. Промежуток интегрирования вида $[-a, a]$ называется симметричным.

Это свойство можно доказать математически. Интеграл разбивается на два:$$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = \int_{-a}^{0} f(x) \,dx + \int_{0}^{a} f(x) \,dx $$В первом интеграле $\int_{-a}^{0} f(x) \,dx$ выполняется замена переменной $t = -x$. Отсюда $x = -t$ и $dx = -dt$. Пределы интегрирования меняются: если $x = -a$, то $t = a$; если $x = 0$, то $t = 0$.$$ \int_{-a}^{0} f(x) \,dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) $$Используя определение нечетной функции $f(-t) = -f(t)$, получаем:$$ \int_{a}^{0} -f(t)(-dt) = \int_{a}^{0} f(t) \,dt $$По свойству определенного интеграла $\int_{a}^{b} g(t) \,dt = -\int_{b}^{a} g(t) \,dt$, меняем пределы местами:$$ \int_{a}^{0} f(t) \,dt = -\int_{0}^{a} f(t) \,dt $$Подставляя результат в исходное разложение и учитывая, что переменная интегрирования является формальной ($t$ можно заменить на $x$), имеем:$$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = -\int_{0}^{a} f(x) \,dx + \int_{0}^{a} f(x) \,dx = 0 $$

Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей. Для нечетной функции ее график на симметричном промежутке $[-a, a]$ состоит из двух частей, равных по площади, но расположенных по разные стороны от оси абсцисс. Например, площадь на отрезке $[-a, 0]$ будет отрицательной, а на отрезке $[0, a]$ — положительной (или наоборот). При суммировании эти площади взаимно компенсируют друг друга, и итоговый результат равен нулю.

Следовательно, все подынтегральные функции в предыдущем задании были нечетными (например, $\sin(x)$, $x^3$, $x \cos(x)$ и т.п.), а промежутки интегрирования — симметричными (например, $[-\pi, \pi]$, $[-1, 1]$ и т.п.).

Ответ: Все определённые интегралы в предыдущем задании равны нулю, потому что они вычислялись для нечетных функций на симметричных промежутках интегрирования вида $[-a, a]$. Интеграл от любой нечетной функции по такому промежутку всегда равен нулю, так как положительная и отрицательная площади, ограниченные графиком функции и осью абсцисс, взаимно компенсируются.