Номер 6.39, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.39, страница 184.
№6.39 (с. 184)
Условие. №6.39 (с. 184)
скриншот условия

6.39 Вычислите приближённо определённый интеграл:
а) $\int_{1}^{2} 2x dx$;
б) $\int_{3}^{4} 3x dx$.
Решение 1. №6.39 (с. 184)


Решение 2. №6.39 (с. 184)


Решение 4. №6.39 (с. 184)
а)
Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{1}^{2} 2x dx $. Хотя в задании указано вычислить интеграл "приближённо", для данной линейной функции можно найти точное значение с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Это будет наилучшим возможным приближением.
Формула Ньютона-Лейбница гласит:
$ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $
где $ F(x) $ — это первообразная для функции $ f(x) $.
В нашем случае подынтегральная функция $ f(x) = 2x $. Найдем её первообразную:
$ F(x) = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C $
Для вычисления определенного интеграла можно взять любую первообразную, например, при $ C = 0 $, то есть $ F(x) = x^2 $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a = 1 $ и $ b = 2 $:
$ \int_{1}^{2} 2x dx = F(2) - F(1) = (2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3 $
Геометрически этот интеграл представляет собой площадь трапеции, ограниченной прямыми $ y = 2x $, $ x = 1 $, $ x = 2 $ и осью $ Ox $. Площадь этой трапеции также равна 3, что подтверждает точность вычисления.
Ответ: 3
б)
Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{3}^{4} 3x dx $. Аналогично предыдущему пункту, найдем точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Подынтегральная функция $ f(x) = 3x $. Найдем её первообразную:
$ F(x) = \int 3x \,dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{2}x^2 + C $
Возьмем первообразную $ F(x) = \frac{3}{2}x^2 $ (при $ C = 0 $).
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a = 3 $ и $ b = 4 $:
$ \int_{3}^{4} 3x dx = F(4) - F(3) = \frac{3}{2}(4)^2 - \frac{3}{2}(3)^2 $
Выполним вычисления:
$ \frac{3}{2} \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{48}{2} - \frac{27}{2} = \frac{48 - 27}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 $
Результат является точным значением интеграла.
Ответ: 10.5
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.39 расположенного на странице 184 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.39 (с. 184), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.