Номер 6.39, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.39, страница 184.

Условие.

6.39 Вычислите приближённо определённый интеграл:

а) $\int_{1}^{2} 2x dx$;

б) $\int_{3}^{4} 3x dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{1}^{2} 2x dx $. Хотя в задании указано вычислить интеграл "приближённо", для данной линейной функции можно найти точное значение с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Это будет наилучшим возможным приближением.

Формула Ньютона-Лейбница гласит:

$ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $

где $ F(x) $ — это первообразная для функции $ f(x) $.

В нашем случае подынтегральная функция $ f(x) = 2x $. Найдем её первообразную:

$ F(x) = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C $

Для вычисления определенного интеграла можно взять любую первообразную, например, при $ C = 0 $, то есть $ F(x) = x^2 $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a = 1 $ и $ b = 2 $:

$ \int_{1}^{2} 2x dx = F(2) - F(1) = (2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3 $

Геометрически этот интеграл представляет собой площадь трапеции, ограниченной прямыми $ y = 2x $, $ x = 1 $, $ x = 2 $ и осью $ Ox $. Площадь этой трапеции также равна 3, что подтверждает точность вычисления.

Ответ: 3

б)

Требуется вычислить определенный интеграл $ \int_{3}^{4} 3x dx $. Аналогично предыдущему пункту, найдем точное значение интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Подынтегральная функция $ f(x) = 3x $. Найдем её первообразную:

$ F(x) = \int 3x \,dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{2}x^2 + C $

Возьмем первообразную $ F(x) = \frac{3}{2}x^2 $ (при $ C = 0 $).

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a = 3 $ и $ b = 4 $:

$ \int_{3}^{4} 3x dx = F(4) - F(3) = \frac{3}{2}(4)^2 - \frac{3}{2}(3)^2 $

Выполним вычисления:

$ \frac{3}{2} \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{48}{2} - \frac{27}{2} = \frac{48 - 27}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 $

Результат является точным значением интеграла.

Ответ: 10.5