Номер 6.46, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.46, страница 189.

Условие.

Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите определённый интеграл (6.46–6.51):

6.46 a) $\int_0^1 x dx;$

б) $\int_2^4 x dx;$

в) $\int_3^7 x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} x\,dx$ используется формула Ньютона—Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
В данном случае $f(x) = x$. Первообразная для этой функции находится по формуле $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Для $n=1$ получаем $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Теперь применим формулу Ньютона—Лейбница с пределами интегрирования $a=0$ и $b=1$:
$\int_{0}^{1} x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} x\,dx$.
Первообразная для функции $f(x) = x$ остаётся той же: $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Подставим пределы интегрирования $a=2$ и $b=4$ в формулу Ньютона—Лейбница:
$\int_{2}^{4} x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{2}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6$.
Ответ: 6

в) Вычислим интеграл $\int_{3}^{7} x\,dx$.
Используем ту же первообразную $F(x) = \frac{x^2}{2}$ и пределы интегрирования $a=3$ и $b=7$.
Применяем формулу Ньютона—Лейбница:
$\int_{3}^{7} x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{3}^{7} = \frac{7^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
Ответ: 20