Номер 6.50, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.50, страница 189.

Условие.

6.50 a) $ \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx; $

б) $ \int_0^{\pi} \cos x \, dx; $

в) $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.
Таким образом, имеем:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\pi} \cos x \,dx$, используя ту же первообразную $F(x) = \sin x$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\pi} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$.
Ответ: 0.

в) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = \sin x$ и пределами интегрирования от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Так как функция синус является нечетной, $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
Следовательно, результат равен: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Также можно было заметить, что $\cos x$ - четная функция, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля. В этом случае $\int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$.
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2.