Номер 6.47, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.47, страница 189.

6.47 a) $\int_0^1 x^2 dx;$

б) $\int_{-1}^1 x^2 dx;$

В) $\int_{-1}^2 x^2 dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} x^2 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2$. Используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $a=0$ до $b=1$:

$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} x^2 dx$.

Первообразная для функции $f(x) = x^2$ нам уже известна: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $a=-1$ до $b=1$:

$\int_{-1}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{1} = F(1) - F(-1) = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Замечание: так как подынтегральная функция $f(x) = x^2$ является четной (т.е. $f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно было воспользоваться свойством $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$. Тогда $\int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, что совпадает с полученным результатом.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{2} x^2 dx$.

Используем ту же первообразную $F(x) = \frac{x^3}{3}$ и формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $a=-1$ до $b=2$:

$\int_{-1}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{2} = F(2) - F(-1) = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: 3.