Номер 6.42, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.42, страница 184.

Условие.

6.42 В предыдущем задании сравните результаты вычислений для функций $y=x^2$ и $y=-x^2$. Объясните, почему они отличаются только знаком. Чему равна площадь криволинейной трапеции на отрезке $[1; 2]$ в случае «а»; в случае «б»?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Результаты вычислений (определенных интегралов) для функций $y = x^2$ и $y = -x^2$ на произвольном отрезке $[a, b]$ отличаются только знаком. Это следует из свойства определенного интеграла:

$\int_{a}^{b} (-x^2) dx = - \int_{a}^{b} x^2 dx$

Геометрически это объясняется тем, что график функции $y = -x^2$ является зеркальным отражением графика функции $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Криволинейная трапеция, образованная графиком $y = x^2$, будет расположена над осью Ox (если интервал не включает 0 и состоит из положительных или отрицательных чисел), и ее площадь, вычисленная через интеграл, будет положительной. Фигура, образованная графиком $y = -x^2$, будет расположена под осью Ox, и ее «ориентированная площадь» (значение интеграла) будет отрицательной. По абсолютной величине эти площади равны из-за симметрии.

в случае «а»

Речь идет о функции $y = x^2$ на отрезке $[1; 2]$. Поскольку на этом отрезке функция неотрицательна ($x^2 > 0$ для $x \in [1; 2]$), площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу:

$S_a = \int_{1}^{2} x^2 dx$

Используя формулу Ньютона-Лейбница, находим первообразную для $f(x) = x^2$, которая равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$S_a = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $S_a = \frac{7}{3}$

в случае «б»

Речь идет о функции $y = -x^2$ на отрезке $[1; 2]$. На этом отрезке функция неположительна ($-x^2 < 0$ для $x \in [1; 2]$). Площадь геометрической фигуры не может быть отрицательной. Для фигуры, расположенной под осью Ox, ее площадь равна модулю определенного интеграла, или интегралу от функции, взятой с противоположным знаком.

$S_b = \left| \int_{1}^{2} (-x^2) dx \right| = \left| - \int_{1}^{2} x^2 dx \right|$

Как мы уже вычислили в пункте «а», $\int_{1}^{2} x^2 dx = \frac{7}{3}$.

$S_b = \left| -\frac{7}{3} \right| = \frac{7}{3}$

Или другим способом:

$S_b = - \int_{1}^{2} (-x^2) dx = \int_{1}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Площади в случаях «а» и «б» равны, что и ожидалось из-за симметрии графиков.

Ответ: $S_b = \frac{7}{3}$