Номер 6.35, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.35, страница 181.

Условие.

6.35* a) $\int_{-\pi}^{0} \sin x dx + \int_{0}^{\pi} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) $ \int_{-\pi}^{0} \sin x \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx $

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства аддитивности интеграла.

Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, если функция $ f(x) $ интегрируема на отрезке $ [a, c] $ и точка $ b $ принадлежит этому отрезку, то $ \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx $.

В нашем случае $ a = -\pi $, $ b = 0 $ и $ c = \pi $. Таким образом, сумму интегралов можно объединить в один:

$ \int_{-\pi}^{0} \sin x \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \,dx $

Теперь вычислим полученный интеграл. Первообразная для функции $ f(x) = \sin x $ есть $ F(x) = -\cos x $. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\pi}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(-\pi)) $

Зная, что $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 $, получаем:

$ -(-1) - (-(-1)) = 1 - 1 = 0 $

Также стоит отметить, что функция $ y = \sin x $ является нечетной ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), а интеграл от любой нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку (каким является $ [-\pi, \pi] $) всегда равен нулю.

Способ 2: Вычисление каждого интеграла по отдельности.

Вычислим первый интеграл:

$ \int_{-\pi}^{0} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\pi}^{0} = (-\cos(0)) - (-\cos(-\pi)) = -1 - (-(-1)) = -1 - 1 = -2 $

Вычислим второй интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $

Сложим полученные значения:

$ -2 + 2 = 0 $

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $ 0 $.

б) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx $

Эту задачу также можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства аддитивности интеграла.

Используя то же свойство аддитивности, что и в пункте а), объединим два интеграла в один. Здесь $ a = -\frac{\pi}{2} $, $ b = \frac{\pi}{2} $ и $ c = \frac{3\pi}{2} $.

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx $

Вычислим этот интеграл. Первообразная для функции $ f(x) = \cos x $ есть $ F(x) = \sin x $. По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) $

Зная, что $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $, получаем:

$ -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $

Способ 2: Вычисление каждого интеграла по отдельности.

Вычислим первый интеграл:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 $

Вычислим второй интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 - 1 = -2 $

Сложим полученные значения:

$ 2 + (-2) = 0 $

Оба способа дают одинаковый ответ.

Ответ: $ 0 $.