Номер 6.36, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.36, страница 181.

Условие.

6.36* a) $\int_{-2}^{2} |x| \, dx;$

б) $\int_{0}^{3} |x-2| \, dx;$

в) $\int_{0}^{4} ||x-2|-1| \, dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Чтобы вычислить определенный интеграл $\int_{-2}^{2} |x| dx$, необходимо раскрыть модуль в подынтегральной функции.

По определению модуля:

$|x| = x$, если $x \ge 0$

$|x| = -x$, если $x < 0$

Интервал интегрирования $[-2, 2]$ включает точку $x=0$, в которой выражение под модулем меняет знак. Поэтому разобьем интеграл на два:

$\int_{-2}^{2} |x| dx = \int_{-2}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$

На промежутке $[-2, 0]$, $|x| = -x$. На промежутке $[0, 2]$, $|x| = x$.

$\int_{-2}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = (-\frac{0^2}{2} - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}) = (0 - (-\frac{4}{2})) + (\frac{4}{2} - 0) = 2 + 2 = 4$.

Также можно интерпретировать этот интеграл как площадь под графиком функции $y=|x|$ от -2 до 2. Эта площадь состоит из двух треугольников с основанием 2 и высотой 2. Площадь каждого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Суммарная площадь равна $2+2=4$.

Ответ: 4

б)

Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{3} |x - 2| dx$.

Раскроем модуль, исходя из его определения:

$|x-2| = x-2$, если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$, если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$

Точка $x=2$, в которой меняется знак выражения под модулем, находится внутри интервала интегрирования $[0, 3]$. Разобьем интеграл в этой точке:

$\int_{0}^{3} |x - 2| dx = \int_{0}^{2} |x - 2| dx + \int_{2}^{3} |x - 2| dx$

Подставим соответствующие выражения для каждого интервала:

$\int_{0}^{2} (2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x - 2) dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} + \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3}$

Вычисляем каждый интеграл:

$\left( (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) \right) + \left( (\frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2) \right)$

$= ((4 - 2) - 0) + ((\frac{9}{2} - 6) - (2 - 4)) = (2) + ((-\frac{3}{2}) - (-2)) = 2 - \frac{3}{2} + 2 = 4 - 1.5 = 2.5$.

Ответ: 2.5

в)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{4} ||x - 2| - 1| dx$.

Это интеграл с вложенными модулями. Сначала проанализируем выражение внутри внешнего модуля: $|x - 2| - 1$. Найдем точки, в которых это выражение равно нулю:

$|x - 2| - 1 = 0 \implies |x - 2| = 1$

Это дает два случая:

1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$

2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$

Также точка, где меняется знак внутреннего модуля $|x-2|$, это $x=2$.

Таким образом, на интервале интегрирования $[0, 4]$ у нас есть три критические точки: $x=1, x=2, x=3$. Разобьем интеграл на четыре части по этим точкам:

$\int_{0}^{4} ||x - 2| - 1| dx = \int_{0}^{1} ||x - 2| - 1| dx + \int_{1}^{2} ||x - 2| - 1| dx + \int_{2}^{3} ||x - 2| - 1| dx + \int_{3}^{4} ||x - 2| - 1| dx$

Теперь раскроем модули на каждом из подынтервалов:

• При $x \in [0, 1]$: $|x - 2| = 2 - x$. Подынтегральная функция: $|(2 - x) - 1| = |1 - x| = 1 - x$ (т.к. $1-x \ge 0$).
• При $x \in [1, 2]$: $|x - 2| = 2 - x$. Подынтегральная функция: $|(2 - x) - 1| = |1 - x| = -(1 - x) = x - 1$ (т.к. $1-x \le 0$).
• При $x \in [2, 3]$: $|x - 2| = x - 2$. Подынтегральная функция: $|(x - 2) - 1| = |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ (т.к. $x-3 \le 0$).
• При $x \in [3, 4]$: $|x - 2| = x - 2$. Подынтегральная функция: $|(x - 2) - 1| = |x - 3| = x - 3$ (т.к. $x-3 \ge 0$).

Подставляем полученные выражения в интегралы:

$\int_{0}^{1} (1 - x) dx + \int_{1}^{2} (x - 1) dx + \int_{2}^{3} (3 - x) dx + \int_{3}^{4} (x - 3) dx$

Вычисляем каждый интеграл:

$\left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - 0 = \frac{1}{2}$

$\left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{2} = (\frac{4}{2} - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

$\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_{2}^{3} = (9 - \frac{9}{2}) - (6 - \frac{4}{2}) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$

$\left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_{3}^{4} = (\frac{16}{2} - 12) - (\frac{9}{2} - 9) = (8 - 12) - (-\frac{9}{2}) = -4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

Суммируем результаты:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$

Ответ: 2