Номер 6.36, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.36, страница 181.
№6.36 (с. 181)
Условие. №6.36 (с. 181)
скриншот условия

6.36* a) $\int_{-2}^{2} |x| \, dx;$
б) $\int_{0}^{3} |x-2| \, dx;$
в) $\int_{0}^{4} ||x-2|-1| \, dx.$
Решение 1. №6.36 (с. 181)



Решение 2. №6.36 (с. 181)


Решение 3. №6.36 (с. 181)

Решение 4. №6.36 (с. 181)
a)
Чтобы вычислить определенный интеграл $\int_{-2}^{2} |x| dx$, необходимо раскрыть модуль в подынтегральной функции.
По определению модуля:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
Интервал интегрирования $[-2, 2]$ включает точку $x=0$, в которой выражение под модулем меняет знак. Поэтому разобьем интеграл на два:
$\int_{-2}^{2} |x| dx = \int_{-2}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
На промежутке $[-2, 0]$, $|x| = -x$. На промежутке $[0, 2]$, $|x| = x$.
$\int_{-2}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = (-\frac{0^2}{2} - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}) = (0 - (-\frac{4}{2})) + (\frac{4}{2} - 0) = 2 + 2 = 4$.
Также можно интерпретировать этот интеграл как площадь под графиком функции $y=|x|$ от -2 до 2. Эта площадь состоит из двух треугольников с основанием 2 и высотой 2. Площадь каждого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Суммарная площадь равна $2+2=4$.
Ответ: 4
б)
Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{3} |x - 2| dx$.
Раскроем модуль, исходя из его определения:
$|x-2| = x-2$, если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$
$|x-2| = -(x-2) = 2-x$, если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$
Точка $x=2$, в которой меняется знак выражения под модулем, находится внутри интервала интегрирования $[0, 3]$. Разобьем интеграл в этой точке:
$\int_{0}^{3} |x - 2| dx = \int_{0}^{2} |x - 2| dx + \int_{2}^{3} |x - 2| dx$
Подставим соответствующие выражения для каждого интервала:
$\int_{0}^{2} (2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x - 2) dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} + \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3}$
Вычисляем каждый интеграл:
$\left( (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) \right) + \left( (\frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2) \right)$
$= ((4 - 2) - 0) + ((\frac{9}{2} - 6) - (2 - 4)) = (2) + ((-\frac{3}{2}) - (-2)) = 2 - \frac{3}{2} + 2 = 4 - 1.5 = 2.5$.
Ответ: 2.5
в)
Вычислим интеграл $\int_{0}^{4} ||x - 2| - 1| dx$.
Это интеграл с вложенными модулями. Сначала проанализируем выражение внутри внешнего модуля: $|x - 2| - 1$. Найдем точки, в которых это выражение равно нулю:
$|x - 2| - 1 = 0 \implies |x - 2| = 1$
Это дает два случая:
1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$
2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$
Также точка, где меняется знак внутреннего модуля $|x-2|$, это $x=2$.
Таким образом, на интервале интегрирования $[0, 4]$ у нас есть три критические точки: $x=1, x=2, x=3$. Разобьем интеграл на четыре части по этим точкам:
$\int_{0}^{4} ||x - 2| - 1| dx = \int_{0}^{1} ||x - 2| - 1| dx + \int_{1}^{2} ||x - 2| - 1| dx + \int_{2}^{3} ||x - 2| - 1| dx + \int_{3}^{4} ||x - 2| - 1| dx$
Теперь раскроем модули на каждом из подынтервалов:
- При $x \in [0, 1]$: $|x - 2| = 2 - x$. Подынтегральная функция: $|(2 - x) - 1| = |1 - x| = 1 - x$ (т.к. $1-x \ge 0$).
- При $x \in [1, 2]$: $|x - 2| = 2 - x$. Подынтегральная функция: $|(2 - x) - 1| = |1 - x| = -(1 - x) = x - 1$ (т.к. $1-x \le 0$).
- При $x \in [2, 3]$: $|x - 2| = x - 2$. Подынтегральная функция: $|(x - 2) - 1| = |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ (т.к. $x-3 \le 0$).
- При $x \in [3, 4]$: $|x - 2| = x - 2$. Подынтегральная функция: $|(x - 2) - 1| = |x - 3| = x - 3$ (т.к. $x-3 \ge 0$).
Подставляем полученные выражения в интегралы:
$\int_{0}^{1} (1 - x) dx + \int_{1}^{2} (x - 1) dx + \int_{2}^{3} (3 - x) dx + \int_{3}^{4} (x - 3) dx$
Вычисляем каждый интеграл:
$\left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - 0 = \frac{1}{2}$
$\left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{2} = (\frac{4}{2} - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$
$\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_{2}^{3} = (9 - \frac{9}{2}) - (6 - \frac{4}{2}) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$
$\left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_{3}^{4} = (\frac{16}{2} - 12) - (\frac{9}{2} - 9) = (8 - 12) - (-\frac{9}{2}) = -4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$
Суммируем результаты:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$
Ответ: 2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.36 расположенного на странице 181 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.36 (с. 181), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.