Страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Пользуясь геометрическим смыслом определённого интеграла, вычислите (6.32—6.36):

6.32 а) $\int_0^2 x dx;$

б) $\int_0^2 (-x) dx;$

в) $\int_{-4}^0 x dx;$

г) $\int_0^4 x dx;$

д) $\int_1^3 (1-x) dx;$

е) $\int_{-1}^1 (2x + 2) dx.$

а) Геометрически определенный интеграл $\int_0^2 x \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=x$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$. Эта фигура представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 2)$. Катеты этого треугольника равны 2 и 2. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Поскольку на отрезке $[0, 2]$ функция $y=x$ неотрицательна ($x \ge 0$), значение интеграла равно площади этой фигуры.
Ответ: 2.

б) Интеграл $\int_0^2 (-x) \,dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=-x$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$. Фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, -2)$. Катеты этого треугольника равны 2 и 2. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
На отрезке $[0, 2]$ функция $y=-x$ неположительна ($y \le 0$), поэтому график расположен ниже оси абсцисс. Значение определенного интеграла в этом случае равно площади соответствующей фигуры, взятой со знаком минус.
$\int_0^2 (-x) \,dx = -S = -2$.
Ответ: -2.

в) Интеграл $\int_{-4}^0 x \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной графиком $y=x$, осью $Ox$ и прямыми $x=-4$ и $x=0$. Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(-4, -4)$. Катеты этого треугольника равны 4 и 4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.
На отрезке $[-4, 0]$ функция $y=x$ неположительна ($y \le 0$), так как $x \le 0$. Следовательно, график функции находится ниже оси $Ox$, и значение интеграла равно площади со знаком минус.
$\int_{-4}^0 x \,dx = -S = -8$.
Ответ: -8.

г) Геометрически интеграл $\int_0^4 x \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной линиями $y=x$, $y=0$, $x=0$, $x=4$. Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$ и $(4, 4)$. Длины катетов равны 4 и 4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.
На отрезке $[0, 4]$ функция $y=x$ неотрицательна ($y \ge 0$), поэтому значение интеграла равно площади.
Ответ: 8.

д) Интеграл $\int_1^3 (1-x) \,dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком $y=1-x$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$ и $x=3$. На отрезке $[1, 3]$ функция $y=1-x$ принимает неположительные значения (при $x=1, y=0$; при $x=3, y=-2$). Фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(1, 0)$, $(3, 0)$ и $(3, -2)$. Катеты этого треугольника равны $3-1=2$ и $|-2|=2$. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Поскольку график функции на данном отрезке лежит ниже оси $Ox$, значение интеграла отрицательно.
$\int_1^3 (1-x) \,dx = -S = -2$.
Ответ: -2.

е) Интеграл $\int_{-1}^1 (2x+2) \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной линиями $y=2x+2$, $y=0$, $x=-1$ и $x=1$. Найдем значения функции на концах отрезка интегрирования: при $x=-1$, $y = 2(-1) + 2 = 0$; при $x=1$, $y = 2(1) + 2 = 4$. Поскольку при $x=-1$ значение функции равно 0, фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, 4)$. Катеты треугольника равны $1 - (-1) = 2$ и 4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
На отрезке $[-1, 1]$ функция $y=2x+2$ неотрицательна ($y \ge 0$), так как ее корень $x=-1$ является левой границей отрезка. Поэтому значение интеграла равно площади этой фигуры.
Ответ: 4.

6.33 a) $\int_{2}^{4} (1-x) dx;$

б) $\int_{0}^{3} (2x+1) dx;$

в) $\int_{2}^{3} (3x-1) dx.$

а) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{2}^{4} (1-x) dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 1 - x $. Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности первообразных:
$ F(x) = \int (1 - x) dx = \int 1 dx - \int x dx = x - \frac{x^2}{2} $. (При вычислении определенного интеграла произвольную постоянную $ C $ можно опустить).
2. Подставляем пределы интегрирования в найденную первообразную:
$ \int_{2}^{4} (1-x) dx = \left. \left(x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{2}^{4} = F(4) - F(2) $.
3. Вычисляем значения первообразной на верхнем и нижнем пределах и находим их разность:
$ F(4) = 4 - \frac{4^2}{2} = 4 - \frac{16}{2} = 4 - 8 = -4 $.
$ F(2) = 2 - \frac{2^2}{2} = 2 - \frac{4}{2} = 2 - 2 = 0 $.
$ \int_{2}^{4} (1-x) dx = -4 - 0 = -4 $.
Ответ: -4.

б) Вычислим определенный интеграл $ \int_{0}^{3} (2x+1) dx $ с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x + 1 $:
$ F(x) = \int (2x + 1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x = x^2 + x $.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования $ 0 $ и $ 3 $:
$ \int_{0}^{3} (2x+1) dx = \left. (x^2 + x) \right|_{0}^{3} = F(3) - F(0) $.
3. Вычисляем значение выражения:
$ F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 $.
$ F(0) = 0^2 + 0 = 0 $.
$ \int_{0}^{3} (2x+1) dx = 12 - 0 = 12 $.
Ответ: 12.

в) Вычислим определенный интеграл $ \int_{2}^{3} (3x-1) dx $ по формуле Ньютона-Лейбница.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 3x - 1 $:
$ F(x) = \int (3x - 1) dx = \int 3x dx - \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - x = \frac{3x^2}{2} - x $.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ 2 $ и $ 3 $:
$ \int_{2}^{3} (3x-1) dx = \left. \left(\frac{3x^2}{2} - x\right) \right|_{2}^{3} = F(3) - F(2) $.
3. Вычисляем значения и находим разность:
$ F(3) = \frac{3 \cdot 3^2}{2} - 3 = \frac{3 \cdot 9}{2} - 3 = \frac{27}{2} - \frac{6}{2} = \frac{21}{2} $.
$ F(2) = \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 2 = \frac{3 \cdot 4}{2} - 2 = 6 - 2 = 4 $.
$ \int_{2}^{3} (3x-1) dx = \frac{21}{2} - 4 = \frac{21}{2} - \frac{8}{2} = \frac{13}{2} $.
Ответ: $ \frac{13}{2} $.

6.34* a) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$;

б) $\int_{-1}^{1} (-\sqrt{1 - x^2}) dx$;

В) $\int_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2} dx$;

Г) $\int_{0}^{4} (-\sqrt{16 - x^2}) dx$.

а) Данный определенный интеграл $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$ можно вычислить, используя его геометрический смысл. Функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ задает верхнюю половину окружности $x^2 + y^2 = 1^2$, так как $y \ge 0$. Эта окружность имеет центр в начале координат $(0, 0)$ и радиус $R = 1$. Пределы интегрирования от $-1$ до $1$ соответствуют полному диаметру окружности вдоль оси Ox. Таким образом, значение интеграла равно площади полукруга радиуса 1. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Площадь полукруга равна $S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Рассмотрим интеграл $\int_{-1}^{1} (-\sqrt{1 - x^2}) dx$. Подынтегральная функция $y = -\sqrt{1 - x^2}$ задает нижнюю половину окружности $x^2 + y^2 = 1^2$ с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$, так как $y \le 0$. Пределы интегрирования от $-1$ до $1$ означают, что мы рассматриваем всю нижнюю половину окружности. Поскольку график функции лежит ниже оси Ox, значение определенного интеграла будет отрицательным и равным площади соответствующей фигуры, взятой со знаком минус. Площадь полукруга радиуса 1 равна $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, значение интеграла равно $-\frac{\pi}{2}$. Также можно воспользоваться свойством интеграла: $\int_{-1}^{1} (-\sqrt{1 - x^2}) dx = - \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

в) Рассмотрим интеграл $\int_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2} dx$. Функция $y = \sqrt{9 - x^2}$ является уравнением верхней половины окружности $x^2 + y^2 = 9$, или $x^2 + y^2 = 3^2$. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = 3$. Пределы интегрирования от $-3$ до $0$. Это означает, что мы ищем площадь под кривой, ограниченной отрезком $[-3, 0]$ оси Ох, что соответствует площади четверти круга, расположенной во второй координатной четверти. Эта площадь составляет одну четверть от площади всего круга. Площадь круга радиуса 3 равна $S = \pi R^2 = \pi (3)^2 = 9\pi$. Площадь четверти круга равна $S_{четверти} = \frac{1}{4} S = \frac{9\pi}{4}$. Таким образом, $\int_{-3}^{0} \sqrt{9 - x^2} dx = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{9\pi}{4}$

г) Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{4} (-\sqrt{16 - x^2}) dx$. Подынтегральная функция $y = -\sqrt{16 - x^2}$ задает нижнюю половину окружности $x^2 + y^2 = 16$, или $x^2 + y^2 = 4^2$. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = 4$. Пределы интегрирования от $0$ до $4$. Это означает, что мы рассматриваем область, ограниченную графиком функции и отрезком $[0, 4]$ оси Ох, что соответствует части круга в четвертой координатной четверти. Так как график функции находится под осью Ox, значение интеграла будет отрицательным. Величина интеграла по модулю равна площади четверти круга радиуса 4. Площадь всего круга равна $S = \pi R^2 = \pi (4)^2 = 16\pi$. Площадь четверти круга равна $S_{четверти} = \frac{1}{4} S = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$. Поскольку область находится ниже оси Ox, интеграл равен $-4\pi$.

Ответ: $-4\pi$

6.35* a) $\int_{-\pi}^{0} \sin x dx + \int_{0}^{\pi} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x dx.$

a) $ \int_{-\pi}^{0} \sin x \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx $

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства аддитивности интеграла.

Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, если функция $ f(x) $ интегрируема на отрезке $ [a, c] $ и точка $ b $ принадлежит этому отрезку, то $ \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx $.

В нашем случае $ a = -\pi $, $ b = 0 $ и $ c = \pi $. Таким образом, сумму интегралов можно объединить в один:

$ \int_{-\pi}^{0} \sin x \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \,dx $

Теперь вычислим полученный интеграл. Первообразная для функции $ f(x) = \sin x $ есть $ F(x) = -\cos x $. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\pi}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(-\pi)) $

Зная, что $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 $, получаем:

$ -(-1) - (-(-1)) = 1 - 1 = 0 $

Также стоит отметить, что функция $ y = \sin x $ является нечетной ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), а интеграл от любой нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку (каким является $ [-\pi, \pi] $) всегда равен нулю.

Способ 2: Вычисление каждого интеграла по отдельности.

Вычислим первый интеграл:

$ \int_{-\pi}^{0} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\pi}^{0} = (-\cos(0)) - (-\cos(-\pi)) = -1 - (-(-1)) = -1 - 1 = -2 $

Вычислим второй интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $

Сложим полученные значения:

$ -2 + 2 = 0 $

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $ 0 $.

б) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx $

Эту задачу также можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование свойства аддитивности интеграла.

Используя то же свойство аддитивности, что и в пункте а), объединим два интеграла в один. Здесь $ a = -\frac{\pi}{2} $, $ b = \frac{\pi}{2} $ и $ c = \frac{3\pi}{2} $.

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx $

Вычислим этот интеграл. Первообразная для функции $ f(x) = \cos x $ есть $ F(x) = \sin x $. По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) $

Зная, что $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $, получаем:

$ -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $

Способ 2: Вычисление каждого интеграла по отдельности.

Вычислим первый интеграл:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 $

Вычислим второй интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 - 1 = -2 $

Сложим полученные значения:

$ 2 + (-2) = 0 $

Оба способа дают одинаковый ответ.

Ответ: $ 0 $.

6.36* a) $\int_{-2}^{2} |x| \, dx;$

б) $\int_{0}^{3} |x-2| \, dx;$

в) $\int_{0}^{4} ||x-2|-1| \, dx.$

a)

Чтобы вычислить определенный интеграл $\int_{-2}^{2} |x| dx$, необходимо раскрыть модуль в подынтегральной функции.

По определению модуля:

$|x| = x$, если $x \ge 0$

$|x| = -x$, если $x < 0$

Интервал интегрирования $[-2, 2]$ включает точку $x=0$, в которой выражение под модулем меняет знак. Поэтому разобьем интеграл на два:

$\int_{-2}^{2} |x| dx = \int_{-2}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$

На промежутке $[-2, 0]$, $|x| = -x$. На промежутке $[0, 2]$, $|x| = x$.

$\int_{-2}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = (-\frac{0^2}{2} - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}) = (0 - (-\frac{4}{2})) + (\frac{4}{2} - 0) = 2 + 2 = 4$.

Также можно интерпретировать этот интеграл как площадь под графиком функции $y=|x|$ от -2 до 2. Эта площадь состоит из двух треугольников с основанием 2 и высотой 2. Площадь каждого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Суммарная площадь равна $2+2=4$.

Ответ: 4

б)

Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{3} |x - 2| dx$.

Раскроем модуль, исходя из его определения:

$|x-2| = x-2$, если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$, если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$

Точка $x=2$, в которой меняется знак выражения под модулем, находится внутри интервала интегрирования $[0, 3]$. Разобьем интеграл в этой точке:

$\int_{0}^{3} |x - 2| dx = \int_{0}^{2} |x - 2| dx + \int_{2}^{3} |x - 2| dx$

Подставим соответствующие выражения для каждого интервала:

$\int_{0}^{2} (2 - x) dx + \int_{2}^{3} (x - 2) dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} + \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3}$

Вычисляем каждый интеграл:

$\left( (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) \right) + \left( (\frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2) \right)$

$= ((4 - 2) - 0) + ((\frac{9}{2} - 6) - (2 - 4)) = (2) + ((-\frac{3}{2}) - (-2)) = 2 - \frac{3}{2} + 2 = 4 - 1.5 = 2.5$.

Ответ: 2.5

в)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{4} ||x - 2| - 1| dx$.

Это интеграл с вложенными модулями. Сначала проанализируем выражение внутри внешнего модуля: $|x - 2| - 1$. Найдем точки, в которых это выражение равно нулю:

$|x - 2| - 1 = 0 \implies |x - 2| = 1$

Это дает два случая:

1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$

2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$

Также точка, где меняется знак внутреннего модуля $|x-2|$, это $x=2$.

Таким образом, на интервале интегрирования $[0, 4]$ у нас есть три критические точки: $x=1, x=2, x=3$. Разобьем интеграл на четыре части по этим точкам:

$\int_{0}^{4} ||x - 2| - 1| dx = \int_{0}^{1} ||x - 2| - 1| dx + \int_{1}^{2} ||x - 2| - 1| dx + \int_{2}^{3} ||x - 2| - 1| dx + \int_{3}^{4} ||x - 2| - 1| dx$

Теперь раскроем модули на каждом из подынтервалов:

• При $x \in [0, 1]$: $|x - 2| = 2 - x$. Подынтегральная функция: $|(2 - x) - 1| = |1 - x| = 1 - x$ (т.к. $1-x \ge 0$).
• При $x \in [1, 2]$: $|x - 2| = 2 - x$. Подынтегральная функция: $|(2 - x) - 1| = |1 - x| = -(1 - x) = x - 1$ (т.к. $1-x \le 0$).
• При $x \in [2, 3]$: $|x - 2| = x - 2$. Подынтегральная функция: $|(x - 2) - 1| = |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ (т.к. $x-3 \le 0$).
• При $x \in [3, 4]$: $|x - 2| = x - 2$. Подынтегральная функция: $|(x - 2) - 1| = |x - 3| = x - 3$ (т.к. $x-3 \ge 0$).

Подставляем полученные выражения в интегралы:

$\int_{0}^{1} (1 - x) dx + \int_{1}^{2} (x - 1) dx + \int_{2}^{3} (3 - x) dx + \int_{3}^{4} (x - 3) dx$

Вычисляем каждый интеграл:

$\left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - 0 = \frac{1}{2}$

$\left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{2} = (\frac{4}{2} - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

$\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_{2}^{3} = (9 - \frac{9}{2}) - (6 - \frac{4}{2}) = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$

$\left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_{3}^{4} = (\frac{16}{2} - 12) - (\frac{9}{2} - 9) = (8 - 12) - (-\frac{9}{2}) = -4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

Суммируем результаты:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$

Ответ: 2