Страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите неопределенный интеграл, используя замену переменной (6.19—6.23):

6.19 а) $\int e^{3x} dx$;

б) $\int 9^{2x} dx$;

в) $\int \sin 7x dx$;

г) $\int \cos 4x dx$;

д) $\int \sqrt{7x - 2} dx$;

е) $\int \sqrt[3]{(2x + 1)^2} dx$.

а) Для вычисления интеграла $\int e^{3x} dx$ применим метод замены переменной. Введем новую переменную $t = 3x$. Найдем ее дифференциал: $dt = (3x)'dx = 3dx$. Отсюда выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{3}$. Подставим новую переменную и ее дифференциал в исходный интеграл:$\int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt$.Теперь вычислим полученный интеграл по переменной $t$, используя табличный интеграл для экспоненты:$\frac{1}{3} \int e^t dt = \frac{1}{3} e^t + C$, где $C$ — произвольная постоянная.В завершение выполним обратную замену, подставив $3x$ вместо $t$, чтобы вернуться к исходной переменной:$\frac{1}{3} e^{3x} + C$.Ответ: $\frac{1}{3}e^{3x} + C$.

б) Найдем интеграл $\int 9^{2x} dx$, используя замену переменной. Пусть $t = 2x$. Тогда дифференциал $dt$ равен $dt = (2x)'dx = 2dx$. Отсюда получаем $dx = \frac{dt}{2}$. Сделаем подстановку в интеграл:$\int 9^{2x}dx = \int 9^t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int 9^t dt$.Воспользуемся формулой для интеграла показательной функции $\int a^t dt = \frac{a^t}{\ln a} + C$:$\frac{1}{2} \cdot \frac{9^t}{\ln 9} + C = \frac{9^t}{2\ln 9} + C$.Выполним обратную замену $t = 2x$:$\frac{9^{2x}}{2\ln 9} + C$.Ответ: $\frac{9^{2x}}{2\ln 9} + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \sin(7x) dx$. Применим метод замены переменной. Введем переменную $t = 7x$. Найдем ее дифференциал: $dt = (7x)'dx = 7dx$, следовательно, $dx = \frac{dt}{7}$. Подставим в исходный интеграл:$\int \sin(7x)dx = \int \sin(t) \frac{dt}{7} = \frac{1}{7}\int \sin(t) dt$.Используем табличный интеграл $\int \sin(t) dt = -\cos(t) + C$:$\frac{1}{7}(-\cos(t)) + C = -\frac{1}{7}\cos(t) + C$.Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $t = 7x$:$-\frac{1}{7}\cos(7x) + C$.Ответ: $-\frac{1}{7}\cos(7x) + C$.

г) Найдем интеграл $\int \cos(4x) dx$. Сделаем замену переменной: $t = 4x$. Дифференциал новой переменной: $dt = (4x)'dx = 4dx$, откуда $dx = \frac{dt}{4}$. Выполним подстановку в интеграл:$\int \cos(4x)dx = \int \cos(t) \frac{dt}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(t) dt$.Интеграл от косинуса равен синусу: $\int \cos(t) dt = \sin(t) + C$.Таким образом, получаем:$\frac{1}{4}\sin(t) + C$.Делаем обратную замену $t = 4x$:$\frac{1}{4}\sin(4x) + C$.Ответ: $\frac{1}{4}\sin(4x) + C$.

д) Вычислим интеграл $\int \sqrt{7x-2} dx$. Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\int (7x-2)^{1/2} dx$. Введем замену: $t = 7x-2$. Найдем дифференциал: $dt = (7x-2)'dx = 7dx$, откуда $dx = \frac{dt}{7}$. Подставим в интеграл:$\int (7x-2)^{1/2}dx = \int t^{1/2} \frac{dt}{7} = \frac{1}{7}\int t^{1/2} dt$.Используем формулу для интеграла степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:$\frac{1}{7} \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{1}{7} \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{21}t^{3/2} + C$.Выполним обратную замену $t = 7x-2$:$\frac{2}{21}(7x-2)^{3/2} + C$.Ответ: $\frac{2}{21}(7x-2)^{3/2} + C$.

е) Найдем интеграл $\int \sqrt[3]{(2x+1)^2} dx$. Перепишем подынтегральное выражение в виде степени: $\int (2x+1)^{2/3} dx$. Сделаем замену переменной: $t = 2x+1$. Дифференциал: $dt = (2x+1)'dx = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$. Подставим в интеграл:$\int (2x+1)^{2/3} dx = \int t^{2/3} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t^{2/3} dt$.Применим формулу для интеграла степенной функции:$\frac{1}{2} \frac{t^{2/3+1}}{2/3+1} + C = \frac{1}{2} \frac{t^{5/3}}{5/3} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} t^{5/3} + C = \frac{3}{10}t^{5/3} + C$.Возвращаемся к переменной $x$, подставляя $t = 2x+1$:$\frac{3}{10}(2x+1)^{5/3} + C$.Ответ: $\frac{3}{10}(2x+1)^{5/3} + C$.

6.20 а) $\int \frac{x dx}{\sqrt{4 - x^2}}$;

б) $\int \frac{3x dx}{\sqrt{25 - x^2}}$;

в) $\int \frac{2x dx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$;

г) $\int \frac{5x dx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.

а) Для вычисления интеграла $\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 4 - x^2$. Тогда дифференциал $dt = (4 - x^2)'dx = -2xdx$. Из этого выражения выразим $xdx = -\frac{1}{2}dt$.

Подставим новую переменную в исходный интеграл:

$\int \frac{xdx}{\sqrt{4 - x^2}} = \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2}dt$.

Вычислим полученный интеграл по формуле для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C$.

Сделаем обратную замену, подставив $t = 4 - x^2$, чтобы получить окончательный результат:

$-\sqrt{4 - x^2} + C$.

Ответ: $-\sqrt{4 - x^2} + C$.

б) Рассмотрим интеграл $\int \frac{3xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$. Вынесем константу 3 за знак интеграла: $3 \int \frac{xdx}{\sqrt{25 - x^2}}$.

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 25 - x^2$, тогда $dt = -2xdx$, и отсюда $xdx = -\frac{1}{2}dt$.

Подставляем в интеграл:

$3 \int \frac{-\frac{1}{2}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{3}{2} \int t^{-1/2}dt$.

Интегрируем:

$-\frac{3}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{3}{2} \cdot 2t^{1/2} + C = -3\sqrt{t} + C$.

Производим обратную замену $t = 25 - x^2$:

$-3\sqrt{25 - x^2} + C$.

Ответ: $-3\sqrt{25 - x^2} + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \frac{2xdx}{\sqrt{9 - 4x^2}}$. Здесь также удобно использовать замену переменной. Пусть $t = 9 - 4x^2$.

Найдем дифференциал $dt = (9 - 4x^2)'dx = -8xdx$. В числителе подынтегрального выражения у нас стоит $2xdx$. Выразим его через $dt$: $2xdx = \frac{2}{-8}(-8xdx) = -\frac{1}{4}dt$.

Подставим в интеграл:

$\int \frac{-\frac{1}{4}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{4} \int t^{-1/2}dt$.

Вычисляем интеграл:

$-\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{1}{4} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{1}{2}\sqrt{t} + C$.

Возвращаемся к исходной переменной, подставляя $t = 9 - 4x^2$:

$-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\sqrt{9 - 4x^2} + C$.

г) Найдем интеграл $\int \frac{5xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$. Сначала вынесем константу 5 за знак интеграла: $5 \int \frac{xdx}{\sqrt{4 - 9x^2}}$.

Сделаем замену переменной: $t = 4 - 9x^2$. Тогда $dt = -18xdx$, откуда $xdx = -\frac{1}{18}dt$.

Подставляем в интеграл:

$5 \int \frac{-\frac{1}{18}dt}{\sqrt{t}} = -\frac{5}{18} \int t^{-1/2}dt$.

Интегрируем по степенной формуле:

$-\frac{5}{18} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{5}{18} \cdot 2t^{1/2} + C = -\frac{10}{18}\sqrt{t} + C = -\frac{5}{9}\sqrt{t} + C$.

Делаем обратную замену $t = 4 - 9x^2$:

$-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{5}{9}\sqrt{4 - 9x^2} + C$.

6.21 a) $\int x \sqrt{1 + x^2} dx;$

B) $\int x \sqrt{4 + x^2} dx;$

б) $\int 5x \sqrt{1 + 4x^2} dx;$

Г) $\int x \sqrt{9 + x^2} dx.$

а) $\int x\sqrt{1+x^2}dx$

Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Сделаем замену:

$t = 1+x^2$

Найдем дифференциал от $t$:

$dt = d(1+x^2) = (1+x^2)'dx = 2x \, dx$

Из этого выражения получим $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Подставим $t$ и $dt$ в исходный интеграл:

$\int x\sqrt{1+x^2}dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

Теперь найдем интеграл по $t$ по формуле для степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$:

$\frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C$.

б) $\int 5x\sqrt{1+4x^2}dx$

Сначала вынесем константу $5$ за знак интеграла:

$5 \int x\sqrt{1+4x^2}dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $t = 1+4x^2$.

Найдем дифференциал $dt$:

$dt = d(1+4x^2) = (1+4x^2)'dx = 8x \, dx$

Отсюда выразим $x \, dx = \frac{1}{8} dt$.

Подставим в интеграл:

$5 \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{8} dt = \frac{5}{8} \int t^{1/2} dt$

Интегрируем по $t$, используя формулу для степенной функции:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{10}{24} t^{3/2} + C = \frac{5}{12} t^{3/2} + C$

Выполним обратную замену $t = 1+4x^2$:

$\frac{5}{12} (1+4x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{5}{12}(1+4x^2)^{3/2} + C$.

в) $\int x\sqrt{4+x^2}dx$

Решим интеграл методом замены переменной. Пусть $t = 4+x^2$.

Тогда дифференциал $dt = d(4+x^2) = 2x \, dx$, откуда получаем $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

Проинтегрируем по $t$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

Теперь выполним обратную замену, подставив $4+x^2$ вместо $t$:

$\frac{1}{3} (4+x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{1}{3}(4+x^2)^{3/2} + C$.

г) $\int x\sqrt{9+x^2}dx$

Используем метод замены переменной. Пусть $t = 9+x^2$.

Найдем дифференциал $dt = d(9+x^2) = 2x \, dx$, откуда следует, что $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Подставим полученные выражения в интеграл:

$\int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

Найдем интеграл от степенной функции:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

Выполним обратную замену $t = 9+x^2$:

$\frac{1}{3} (9+x^2)^{3/2} + C$

Ответ: $\frac{1}{3}(9+x^2)^{3/2} + C$.

6.22 а) $\int \frac{4xdx}{1+x^2}$;

б) $\int \frac{2xdx}{1+4x^2}$;

в) $\int \frac{xdx}{1+9x^2}$;

г) $\int \frac{xdx}{4+x^2}$.

а) Для вычисления интеграла $\int \frac{4x dx}{1 + x^2}$ применим метод замены переменной. Этот метод удобен, так как в числителе находится выражение $x dx$, которое является, с точностью до константы, производной от $x^2$ в знаменателе.
Введем новую переменную $t$. Пусть $t = 1 + x^2$.
Найдем дифференциал $dt$. Для этого продифференцируем обе части равенства по $x$:
$dt = d(1 + x^2) = (1+x^2)' dx = 2x dx$.
Из этого соотношения можно выразить $4x dx$: $4x dx = 2 \cdot (2x dx) = 2 dt$.
Теперь подставим $t$ и $2 dt$ в исходный интеграл:
$\int \frac{4x dx}{1 + x^2} = \int \frac{2 dt}{t}$.
Вынесем константу за знак интеграла:
$2 \int \frac{dt}{t}$.
Интеграл от $\frac{1}{t}$ является табличным и равен натуральному логарифму модуля $t$:
$2 \ln|t| + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$, то есть $t = 1 + x^2$:
$2 \ln|1 + x^2| + C$.
Поскольку выражение $1 + x^2$ всегда строго положительно для любого действительного $x$, знак модуля можно опустить.
Итоговый результат: $2 \ln(1 + x^2) + C$.
Ответ: $2 \ln(1 + x^2) + C$.

б) Решим интеграл $\int \frac{2x dx}{1 + 4x^2}$ методом замены переменной.
Введем замену: $t = 1 + 4x^2$.
Найдем дифференциал $dt$:
$dt = d(1 + 4x^2) = (1+4x^2)' dx = 8x dx$.
Из этого равенства выразим $2x dx$: $2x dx = \frac{1}{4} \cdot (8x dx) = \frac{dt}{4}$.
Подставим новую переменную в интеграл:
$\int \frac{2x dx}{1 + 4x^2} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{4}$.
Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t}$.
Интеграл от $\frac{1}{t}$ — это табличный интеграл:
$\frac{1}{4} \ln|t| + C$.
Выполним обратную замену $t = 1 + 4x^2$:
$\frac{1}{4} \ln|1 + 4x^2| + C$.
Так как $1 + 4x^2 > 0$ для всех $x$, модуль можно убрать.
Ответ: $\frac{1}{4} \ln(1 + 4x^2) + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \frac{x dx}{1 + 9x^2}$, используя замену переменной.
Пусть $t = 1 + 9x^2$.
Тогда дифференциал $dt = d(1 + 9x^2) = (1+9x^2)' dx = 18x dx$.
Отсюда выразим $x dx$: $x dx = \frac{dt}{18}$.
Подставим в интеграл:
$\int \frac{x dx}{1 + 9x^2} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{18}$.
Выносим константу:
$\frac{1}{18} \int \frac{dt}{t}$.
Интегрируем:
$\frac{1}{18} \ln|t| + C$.
Делаем обратную замену $t = 1 + 9x^2$:
$\frac{1}{18} \ln|1 + 9x^2| + C$.
Выражение $1 + 9x^2$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить.
Ответ: $\frac{1}{18} \ln(1 + 9x^2) + C$.

г) Найдем интеграл $\int \frac{x dx}{4 + x^2}$ с помощью метода замены переменной.
Введем переменную $t = 4 + x^2$.
Найдем ее дифференциал: $dt = d(4 + x^2) = (4+x^2)' dx = 2x dx$.
Выразим из этого равенства $x dx$: $x dx = \frac{dt}{2}$.
Подставим полученные выражения в исходный интеграл:
$\int \frac{x dx}{4 + x^2} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2}$.
Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t}$.
Этот интеграл является табличным:
$\frac{1}{2} \ln|t| + C$.
Произведем обратную замену $t = 4 + x^2$:
$\frac{1}{2} \ln|4 + x^2| + C$.
Поскольку $4 + x^2$ всегда положительно, знак модуля можно убрать.
Ответ: $\frac{1}{2} \ln(4 + x^2) + C$.

6.23* а) $\int \sqrt{1 - x^2} dx$;

б) $\int \sqrt{4 - x^2} dx$;

в) $\int \sqrt{1 - 4x^2} dx$;

г) $\int \sqrt{1 - 9x^2} dx$.

Данные интегралы относятся к типу интегралов от иррациональных функций вида $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx$, для решения которых используется тригонометрическая подстановка. Общая формула для такого интеграла:$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$.Ниже представлено подробное решение для каждого из заданий.

а) $\int \sqrt{1 - x^2} dx$

Это базовый случай, где $a=1$. Для его решения применим тригонометрическую замену.

Пусть $x = \sin(t)$. Тогда $dx = \cos(t) dt$. Чтобы замена была однозначной и $\sqrt{\cos^2(t)} = \cos(t)$, выберем $t \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{1 - \sin^2(t)} \cos(t) dt = \int \sqrt{\cos^2(t)} \cos(t) dt = \int \cos(t) \cdot \cos(t) dt = \int \cos^2(t) dt$.

Для вычисления интеграла от $\cos^2(t)$ используем формулу понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$.

$\int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2t)) dt = \frac{1}{2} \left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Из $x = \sin(t)$ следует, что $t = \arcsin(x)$.

Для выражения $\sin(2t)$ через $x$ используем формулу двойного угла: $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$.

Мы знаем, что $\sin(t) = x$. Тогда $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$ (косинус неотрицателен, т.к. $t \in [-\pi/2, \pi/2]$).

Таким образом, $\sin(2t) = 2x\sqrt{1 - x^2}$.

Подставляем найденные выражения обратно в результат интегрирования:

$\frac{1}{2} \left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C = \frac{1}{2} \left(\arcsin(x) + \frac{1}{2}(2x\sqrt{1-x^2})\right) + C = \frac{1}{2}\arcsin(x) + \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x) + C$.

б) $\int \sqrt{4 - x^2} dx$

Данный интеграл имеет вид $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx$, где $a=2$. Применим тригонометрическую замену $x = 2\sin(t)$.

Тогда $dx = 2\cos(t) dt$. Выбираем $t \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{4 - (2\sin(t))^2} \cdot 2\cos(t) dt = \int \sqrt{4 - 4\sin^2(t)} \cdot 2\cos(t) dt = \int \sqrt{4(1 - \sin^2(t))} \cdot 2\cos(t) dt$

$= \int 2\sqrt{\cos^2(t)} \cdot 2\cos(t) dt = \int 4\cos^2(t) dt$.

Используем формулу понижения степени:

$4 \int \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 2 \int (1 + \cos(2t)) dt = 2 \left(t + \frac{1}{2}\sin(2t)\right) + C = 2t + \sin(2t) + C$.

Выполняем обратную замену. Из $x = 2\sin(t)$ следует, что $\sin(t) = \frac{x}{2}$, а $t = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$.

$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = x\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = x\frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}$.

Подставляем обратно:

$2t + \sin(2t) + C = 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$.

в) $\int \sqrt{1 - 4x^2} dx$

Перепишем подынтегральное выражение: $\int \sqrt{1 - (2x)^2} dx$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{1 - u^2} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \sqrt{1 - u^2} du$.

Интеграл $\int \sqrt{1 - u^2} du$ был решен в пункте а). Используем его результат:

$\frac{1}{2} \left(\frac{u}{2}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{2}\arcsin(u)\right) + C_1 = \frac{u}{4}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{4}\arcsin(u) + C_1$.

Теперь выполним обратную замену $u=2x$:

$\frac{2x}{4}\sqrt{1 - (2x)^2} + \frac{1}{4}\arcsin(2x) + C = \frac{x}{2}\sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4}\arcsin(2x) + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{1 - 4x^2} + \frac{1}{4}\arcsin(2x) + C$.

г) $\int \sqrt{1 - 9x^2} dx$

Перепишем подынтегральное выражение: $\int \sqrt{1 - (3x)^2} dx$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = 3x$, тогда $du = 3dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}du$.

Подставляем в интеграл:

$\int \sqrt{1 - u^2} \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int \sqrt{1 - u^2} du$.

Используем результат из пункта а):

$\frac{1}{3} \left(\frac{u}{2}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{2}\arcsin(u)\right) + C_1 = \frac{u}{6}\sqrt{1 - u^2} + \frac{1}{6}\arcsin(u) + C_1$.

Выполним обратную замену $u=3x$:

$\frac{3x}{6}\sqrt{1 - (3x)^2} + \frac{1}{6}\arcsin(3x) + C = \frac{x}{2}\sqrt{1 - 9x^2} + \frac{1}{6}\arcsin(3x) + C$.

Ответ: $\frac{x}{2}\sqrt{1 - 9x^2} + \frac{1}{6}\arcsin(3x) + C$.

Найдите неопределённый интеграл, используя интегрирование по частям (6.24–6.25):

6.24* a) $\int x \cos x dx;$

б) $\int \frac{x dx}{\cos^2 x};$

в) $\int \frac{x dx}{\sin^2 x};$

г) $\int x \sqrt{x - 7} dx.$

a) Для нахождения интеграла $\int x \cos x \, dx$ применяется формула интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$ следующим образом:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = (x)' \, dx = dx$.
• Пусть $dv = \cos x \, dx$. Тогда $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:
$\int x \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx$
Вычислим оставшийся интеграл:
$\int \sin x \, dx = -\cos x$.
Собрав все вместе, получаем:
$x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $x \sin x + \cos x + C$.

б) Для вычисления интеграла $\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx$ используем интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
• Пусть $dv = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$. Тогда $v = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x$.

Применяем формулу:
$\int \frac{x}{\cos^2 x} \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx$.
Интеграл от тангенса равен:
$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\int \frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|$.
Таким образом, окончательный результат:
$x \tan x - (-\ln|\cos x|) + C = x \tan x + \ln|\cos x| + C$.
Ответ: $x \tan x + \ln|\cos x| + C$.

в) Для вычисления интеграла $\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx$ снова применяем интегрирование по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
• Пусть $dv = \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$. Тогда $v = \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x$.

Применяем формулу:
$\int \frac{x}{\sin^2 x} \, dx = x(-\cot x) - \int (-\cot x) \, dx = -x \cot x + \int \cot x \, dx$.
Интеграл от котангенса равен:
$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{d(\sin x)}{\sin x} = \ln|\sin x|$.
Окончательный результат:
$-x \cot x + \ln|\sin x| + C$.
Ответ: $-x \cot x + \ln|\sin x| + C$.

г) Для вычисления интеграла $\int x \sqrt{x-7} \, dx$ используем метод интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Выберем $u$ и $dv$:

• Пусть $u = x$. Тогда $du = dx$.
• Пусть $dv = \sqrt{x-7} \, dx = (x-7)^{1/2} \, dx$. Тогда $v = \int (x-7)^{1/2} \, dx = \frac{(x-7)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}(x-7)^{3/2}$.

Подставляем в формулу:
$\int x \sqrt{x-7} \, dx = x \cdot \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} - \int \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} \, dx$.
Вычислим оставшийся интеграл:
$\int \frac{2}{3}(x-7)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \int (x-7)^{3/2} \, dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{(x-7)^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{4}{15}(x-7)^{5/2} + C_1$.
Соберем все вместе:
$\frac{2x}{3}(x-7)^{3/2} - \frac{4}{15}(x-7)^{5/2} + C$.
Для упрощения результата вынесем общий множитель $\frac{2}{15}(x-7)^{3/2}$ за скобки:
$\frac{2}{15}(x-7)^{3/2} \left[ 5x - 2(x-7) \right] + C = \frac{2}{15}(x-7)^{3/2} (5x - 2x + 14) + C = \frac{2}{15}(x-7)^{3/2}(3x+14) + C$.
Ответ: $\frac{2}{15}(3x+14)(x-7)^{3/2} + C$.

6.25* a) $\int x^2 e^x dx;$

б) $\int x^2 \sin x dx;$

в) $\int x^2 \cos x dx.$

Для решения всех трех интегралов используется метод интегрирования по частям, формула которого: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Этот метод применяется дважды для каждого интеграла.

а) $\int x^2e^x dx$

Применим интегрирование по частям. Выберем $u = x^2$ и $dv = e^x dx$.
Тогда $du = (x^2)' dx = 2x \, dx$, а $v = \int e^x dx = e^x$.
Подставляем в формулу:

$\int x^2e^x dx = x^2 \cdot e^x - \int e^x \cdot 2x \, dx = x^2e^x - 2\int xe^x dx$.

К получившемуся интегралу $\int xe^x dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = e^x dx$.
Тогда $du = (x)' dx = dx$, а $v = \int e^x dx = e^x$.
Получаем:

$\int xe^x dx = x \cdot e^x - \int e^x dx = xe^x - e^x$.

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:

$\int x^2e^x dx = x^2e^x - 2(xe^x - e^x) + C = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.

Вынося общий множитель $e^x$ за скобки, получаем окончательный ответ.

Ответ: $e^x(x^2 - 2x + 2) + C$.

б) $\int x^2 \sin x \, dx$

Применим интегрирование по частям. Выберем $u = x^2$ и $dv = \sin x \, dx$.
Тогда $du = 2x \, dx$, а $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.
Подставляем в формулу:

$\int x^2 \sin x \, dx = x^2(-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 2x \, dx = -x^2\cos x + 2\int x \cos x \, dx$.

К интегралу $\int x \cos x \, dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$.
Тогда $du = dx$, а $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.
Получаем:

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x$.

Подставим результат в наше выражение:

$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2\cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C = -x^2\cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$.

Сгруппировав слагаемые, можно записать ответ в виде $(2-x^2)\cos x + 2x \sin x + C$.

Ответ: $-x^2\cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$.

в) $\int x^2 \cos x \, dx$

Применим интегрирование по частям. Выберем $u = x^2$ и $dv = \cos x \, dx$.
Тогда $du = 2x \, dx$, а $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.
Подставляем в формулу:

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int \sin x \cdot 2x \, dx = x^2\sin x - 2\int x \sin x \, dx$.

К интегралу $\int x \sin x \, dx$ снова применим метод интегрирования по частям. Выберем $u = x$ и $dv = \sin x \, dx$.
Тогда $du = dx$, а $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.
Получаем:

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx = -x\cos x + \sin x$.

Подставим результат в наше выражение:

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2\sin x - 2(-x\cos x + \sin x) + C = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$.

Сгруппировав слагаемые, можно записать ответ в виде $(x^2-2)\sin x + 2x\cos x + C$.

Ответ: $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$.