Страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите неопределенный интеграл (6.12—6.17):

6.12 а) $\int x dx;$ б) $\int x^2 dx;$ в) $\int x^3 dx;$ г) $\int \sin x dx;$
д) $\int \cos x dx;$ е) $\int \frac{dx}{\cos^2 x};$ ж) $\int \frac{dx}{\sin^2 x};$ з) $\int e^x dx;$
и) $\int 8^x dx;$ к) $\int \frac{dx}{x};$ л) $\int x^{\frac{2}{3}} dx;$ м) $\int \sqrt{x} dx.$

а)

Для нахождения интеграла $\int x \,dx$ используется формула интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $x$ находится в первой степени, то есть $n=1$.

Применяя формулу, получаем:

$\int x^1 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.

Ответ: $\frac{x^2}{2} + C$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь показатель степени $n=2$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$\int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.

Ответ: $\frac{x^3}{3} + C$.

в)

Снова применяем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, но на этот раз с $n=3$.

$\int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.

Ответ: $\frac{x^4}{4} + C$.

г)

Интеграл от функции $\sin x$ является табличным. Первообразная для $\sin x$ — это $-\cos x$.

$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$.

Ответ: $-\cos x + C$.

д)

Интеграл от функции $\cos x$ также является табличным. Первообразная для $\cos x$ — это $\sin x$.

$\int \cos x \,dx = \sin x + C$.

Ответ: $\sin x + C$.

е)

Данный интеграл является табличным. Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2 x}$ — это $\tan x$, так как производная от $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.

$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$.

Ответ: $\tan x + C$.

ж)

Этот интеграл также табличный. Первообразная для функции $\frac{1}{\sin^2 x}$ — это $-\cot x$, так как производная от $\cot x$ равна $-\frac{1}{\sin^2 x}$.

$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$.

Ответ: $-\cot x + C$.

з)

Интеграл от экспоненциальной функции $e^x$ равен самой этой функции, что является одним из фундаментальных свойств числа $e$.

$\int e^x \,dx = e^x + C$.

Ответ: $e^x + C$.

и)

Для нахождения интеграла от показательной функции с основанием $a$ используется формула $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В данном случае основание $a=8$.

$\int 8^x \,dx = \frac{8^x}{\ln 8} + C$.

Ответ: $\frac{8^x}{\ln 8} + C$.

к)

Интеграл от $\frac{1}{x}$ является табличным и равен натуральному логарифму модуля $x$. Модуль необходим, так как подынтегральная функция определена для всех $x \neq 0$, а функция $\ln x$ — только для $x > 0$.

$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$.

Ответ: $\ln|x| + C$.

л)

Для решения этого интеграла сначала вынесем константу $2$ за знак интеграла, а затем представим $\frac{1}{x^3}$ в виде $x^{-3}$.

$\int \frac{2}{x^3} \,dx = 2 \int x^{-3} \,dx$.

Теперь применяем формулу для степенной функции с $n=-3$:

$2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -x^{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{x^2} + C$.

м)

Сначала представим квадратный корень из $x$ в виде степенной функции $x^{1/2}$.

$\int \sqrt{x} \,dx = \int x^{1/2} \,dx$.

Далее используем формулу интегрирования степенной функции с $n=1/2$:

$\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

Этот результат также можно записать в виде $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

6.13 a) $\int (x + \sin x) dx$;

б) $\int (x^2 - \cos x) dx$;

в) $\int \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\cos^2 x}\right) dx$;

г) $\int \left(x^4 + \frac{1}{\sin^2 x}\right) dx$;

д) $\int \left(e^x - \frac{1}{x}\right) dx$;

е) $\int \left(6^x + \frac{1}{x}\right) dx.$

а) Для нахождения интеграла $\int (x + \sin x)dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

$\int (x + \sin x)dx = \int x dx + \int \sin x dx$

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

1. Интеграл от степенной функции $x$ (где степень равна 1): $\int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = \frac{x^2}{2} + C_1$.

2. Интеграл от функции синус: $\int \sin x dx = -\cos x + C_2$.

Складывая результаты и объединяя константы интегрирования $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$, получаем:

$\frac{x^2}{2} - \cos x + C$

Ответ: $\frac{x^2}{2} - \cos x + C$

б) Для нахождения интеграла $\int (x^2 - \cos x)dx$ применим свойство линейности. Интеграл от разности функций равен разности интегралов:

$\int (x^2 - \cos x)dx = \int x^2 dx - \int \cos x dx$

Используем таблицу интегралов для каждой функции:

1. Интеграл от $x^2$: $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = \frac{x^3}{3} + C_1$.

2. Интеграл от функции косинус: $\int \cos x dx = \sin x + C_2$.

Вычитаем второй результат из первого и объединяем константы:

$\frac{x^3}{3} - \sin x + C$

Ответ: $\frac{x^3}{3} - \sin x + C$

в) Найдем интеграл $\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\cos^2 x})dx$. Сначала представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{\frac{1}{2}}$ и применим свойство линейности интеграла:

$\int (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\cos^2 x})dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Находим каждый интеграл по таблице:

1. Интеграл от $x^{\frac{1}{2}}$: $\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_1$. Это можно также записать как $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.

2. Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 x}$: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C_2$.

Объединяем результаты:

$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \tan x + C$

Ответ: $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \tan x + C$

г) Для решения интеграла $\int (x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{\sin^2 x})dx$ воспользуемся правилом интегрирования суммы:

$\int (x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{\sin^2 x})dx = \int x^{\frac{3}{4}} dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Найдем интегралы по отдельности, обращаясь к таблице:

1. Интеграл от степенной функции $x^{\frac{3}{4}}$: $\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + C_1 = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} + C_1$.

2. Интеграл от $\frac{1}{\sin^2 x}$: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C_2$.

Складываем полученные выражения:

$\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} - \cot x + C$

Ответ: $\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} - \cot x + C$

д) Рассмотрим интеграл $\int (e^x - \frac{1}{x})dx$. Используя свойство линейности, разделим его на два интеграла:

$\int (e^x - \frac{1}{x})dx = \int e^x dx - \int \frac{1}{x} dx$

Находим каждый из них по таблице основных интегралов:

1. Интеграл от экспоненциальной функции $e^x$: $\int e^x dx = e^x + C_1$.

2. Интеграл от $\frac{1}{x}$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2$.

Объединяем результаты:

$e^x - \ln|x| + C$

Ответ: $e^x - \ln|x| + C$

е) Найдем интеграл $\int (6^x + \frac{1}{x})dx$. Разделим его на сумму двух интегралов:

$\int (6^x + \frac{1}{x})dx = \int 6^x dx + \int \frac{1}{x} dx$

Воспользуемся таблицей интегралов:

1. Интеграл от показательной функции $6^x$: по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, в нашем случае $a=6$, поэтому $\int 6^x dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C_1$.

2. Интеграл от $\frac{1}{x}$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2$.

Складываем полученные выражения и объединяем константы:

$\frac{6^x}{\ln 6} + \ln|x| + C$

Ответ: $\frac{6^x}{\ln 6} + \ln|x| + C$

6.14 a) $\int (5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) dx;$

б) $\int (10x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3x - 7) dx;$

в) $\int (3 \sin x + 4 \cos x - 5\sqrt{x}) dx;$

г) $\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 5e^x + 3 \cdot 2^x\right) dx.$

а) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов) и таблицей интегралов.

$\int (5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) dx = \int 5x^4 dx - \int 4x^3 dx + \int 3x^2 dx - \int 2x dx + \int 1 dx$

Выносим постоянные множители за знак интеграла:

$= 5\int x^4 dx - 4\int x^3 dx + 3\int x^2 dx - 2\int x dx + \int dx$

Теперь применяем формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ к каждому слагаемому:

$= 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C$

$= 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

После сокращения дробей получаем окончательный результат. Не забываем добавить константу интегрирования $C$.

$= x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + C$

Ответ: $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + C$

б) Решаем аналогично предыдущему пункту, используя свойство линейности и табличные интегралы.

$\int (10x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3x - 7) dx = 10\int x^4 dx + 5\int x^3 dx - 2\int x^2 dx + 3\int x dx - 7\int dx$

Используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$= 10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 7x + C$

$= 10 \cdot \frac{x^5}{5} + 5 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C$

Упрощаем выражение:

$= 2x^5 + \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 7x + C$

Ответ: $2x^5 + \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 7x + C$

в) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы для тригонометрических и степенных функций.

Сначала представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$\int (3 \sin x + 4 \cos x - 5\sqrt{x}) dx = \int (3 \sin x + 4 \cos x - 5x^{1/2}) dx$

Разбиваем на сумму интегралов и выносим константы:

$= 3\int \sin x dx + 4\int \cos x dx - 5\int x^{1/2} dx$

Используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x + C$, $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$= 3(-\cos x) + 4(\sin x) - 5 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C$

$= -3\cos x + 4\sin x - 5 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$

Упрощаем последнее слагаемое. Деление на дробь $\frac{3}{2}$ эквивалентно умножению на $\frac{2}{3}$. Также можно представить $x^{3/2}$ как $x\sqrt{x}$.

$= -3\cos x + 4\sin x - 5 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C = 4\sin x - 3\cos x - \frac{10}{3}x\sqrt{x} + C$

Ответ: $4\sin x - 3\cos x - \frac{10}{3}x\sqrt{x} + C$

г) В данном интеграле используются степенная, показательная и экспоненциальная функции.

Представим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ как $x^{-1/2}$:

$\int (\frac{1}{\sqrt{x}} - 5e^x + 3 \cdot 2^x) dx = \int (x^{-1/2} - 5e^x + 3 \cdot 2^x) dx$

Разбиваем на сумму интегралов и выносим константы:

$= \int x^{-1/2} dx - 5\int e^x dx + 3\int 2^x dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

$= \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} - 5e^x + 3 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + C$

$= \frac{x^{1/2}}{1/2} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C$

Упрощаем первое слагаемое и получаем конечный результат:

$= 2x^{1/2} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C = 2\sqrt{x} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C$

Ответ: $2\sqrt{x} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C$

6.15* a) $\int \left( 5 \sin 2x - 3 \cos \frac{x}{2} \right) dx;$

б) $\int \left( \frac{5}{x+1} - e^{5x-1} \right) dx;$

в) $\int \left( \frac{3}{\sin^2 (x+1)} + \frac{7}{\cos^2 (x-1)} \right) dx;$

г) $\int \left( \sqrt{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - 6x + 9} \right) dx.$

а) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла и табличными интегралами.

$ \int (5 \sin 2x - 3 \cos \frac{x}{2}) dx = \int 5 \sin 2x \, dx - \int 3 \cos \frac{x}{2} \, dx = 5 \int \sin 2x \, dx - 3 \int \cos \frac{x}{2} \, dx $

Используем формулы для интегрирования тригонометрических функций $ \int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C $ и $ \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C $.

Для первого слагаемого, где $ k=2 $:$ 5 \int \sin 2x \, dx = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) = -\frac{5}{2} \cos 2x $.

Для второго слагаемого, где $ k=\frac{1}{2} $:$ -3 \int \cos \frac{x}{2} \, dx = -3 \cdot \left(\frac{1}{1/2} \sin \frac{x}{2}\right) = -3 \cdot \left(2 \sin \frac{x}{2}\right) = -6 \sin \frac{x}{2} $.

Собрав все вместе и добавив произвольную постоянную интегрирования $ C $, получаем:

$ -\frac{5}{2} \cos 2x - 6 \sin \frac{x}{2} + C $

Ответ: $ -\frac{5}{2} \cos 2x - 6 \sin \frac{x}{2} + C $

б) Разделим интеграл на два, используя свойство линейности:

$ \int \left(\frac{5}{x+1} - e^{5x-1}\right) dx = \int \frac{5}{x+1} dx - \int e^{5x-1} dx = 5 \int \frac{1}{x+1} dx - \int e^{5x-1} dx $

Используем табличные интегралы $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C $ и $ \int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C $.

Первый интеграл (здесь $ a=1, b=1 $):$ 5 \int \frac{1}{x+1} dx = 5 \ln|x+1| $.

Второй интеграл (здесь $ a=5, b=-1 $):$ \int e^{5x-1} dx = \frac{1}{5} e^{5x-1} $.

Объединяя результаты и добавляя константу $ C $, получаем:

$ 5 \ln|x+1| - \frac{1}{5} e^{5x-1} + C $

Ответ: $ 5 \ln|x+1| - \frac{1}{5} e^{5x-1} + C $

в) Используем свойство линейности интеграла:

$ \int \left(\frac{3}{\sin^2(x+1)} + \frac{7}{\cos^2(x-1)}\right) dx = 3 \int \frac{dx}{\sin^2(x+1)} + 7 \int \frac{dx}{\cos^2(x-1)} $

Применяем табличные интегралы $ \int \frac{dx}{\sin^2(ax+b)} = -\frac{1}{a} \cot(ax+b) + C $ и $ \int \frac{dx}{\cos^2(ax+b)} = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C $.

Для первого слагаемого (здесь $ a=1, b=1 $):$ 3 \int \frac{dx}{\sin^2(x+1)} = 3(-\cot(x+1)) = -3 \cot(x+1) $.

Для второго слагаемого (здесь $ a=1, b=-1 $):$ 7 \int \frac{dx}{\cos^2(x-1)} = 7(\tan(x-1)) = 7 \tan(x-1) $.

Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $ C $, получаем:

$ -3 \cot(x+1) + 7 \tan(x-1) + C $

Ответ: $ -3 \cot(x+1) + 7 \tan(x-1) + C $

г) Сначала упростим подынтегральное выражение.

Заметим, что выражение под первым корнем является формулой куба суммы, а под вторым корнем — формулой квадрата разности:

$ x^3+3x^2+3x+1 = (x+1)^3 $

$ x^2-6x+9 = (x-3)^2 $

Тогда подынтегральное выражение можно переписать в виде:

$ \sqrt{(x+1)^3} - \sqrt[3]{(x-3)^2} = (x+1)^{3/2} - (x-3)^{2/3} $

Обратим внимание, что для существования выражения $ (x+1)^{3/2} $ необходимо, чтобы $ x+1 \ge 0 $, то есть $ x \ge -1 $.

Теперь интегрируем, используя свойство линейности и формулу степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int \left((x+1)^{3/2} - (x-3)^{2/3}\right) dx = \int (x+1)^{3/2} dx - \int (x-3)^{2/3} dx $

Первый интеграл:$ \int (x+1)^{3/2} dx = \frac{(x+1)^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{(x+1)^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} $.

Второй интеграл:$ \int (x-3)^{2/3} dx = \frac{(x-3)^{2/3+1}}{2/3+1} = \frac{(x-3)^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}(x-3)^{5/3} $.

Собирая всё вместе и добавляя константу интегрирования $ C $, получаем итоговый результат:

$ \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{3}{5}(x-3)^{5/3} + C $

Ответ: $ \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{3}{5}(x-3)^{5/3} + C $

6.16* a) $\int \frac{dx}{1 + \cos 2x}$;

б) $\int \frac{dx}{1 - \cos 2x}$;

в) $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$;

г) $\int \sin x \cos x dx$;

д) $\int (\sin 5x \cos 4x + \sin 4x \cos 5x) dx$;

е) $\int (\cos 2x \cos 3x - \sin 2x \sin 3x) dx$.

а) Для нахождения интеграла $\int \frac{dx}{1 + \cos 2x}$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
Подставляем это выражение в подынтегральную функцию:
$\int \frac{dx}{1 + \cos 2x} = \int \frac{dx}{2\cos^2 x}$
Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$
Данный интеграл является табличным: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.
Таким образом, получаем окончательное решение:
$\frac{1}{2} \tan x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $\frac{1}{2} \tan x + C$.

б) Для нахождения интеграла $\int \frac{dx}{1 - \cos 2x}$ воспользуемся другой тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$.
Подставляем это выражение в подынтегральную функцию:
$\int \frac{dx}{1 - \cos 2x} = \int \frac{dx}{2\sin^2 x}$
Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$
Данный интеграл является табличным: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.
Таким образом, получаем окончательное решение:
$-\frac{1}{2} \cot x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $-\frac{1}{2} \cot x + C$.

в) Для нахождения интеграла $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Интеграл принимает вид:
$\int \cos 2x \, dx$
Это табличный интеграл вида $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В нашем случае $k=2$.
Следовательно, решение:
$\frac{1}{2} \sin 2x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

г) Для нахождения интеграла $\int \sin x \cos x \, dx$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, откуда следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.
Подставляем это выражение в интеграл:
$\int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx$
Это табличный интеграл вида $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В нашем случае $k=2$.
Получаем:
$\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) + C = -\frac{1}{4} \cos 2x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $-\frac{1}{4} \cos 2x + C$.

д) Для нахождения интеграла $\int (\sin 5x \cos 4x + \sin 4x \cos 5x) dx$ заметим, что выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 4x$.
Таким образом, подынтегральная функция упрощается до $\sin(5x + 4x) = \sin 9x$.
Интеграл принимает вид:
$\int \sin 9x \, dx$
Интегрируем, используя правило $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$:
$-\frac{1}{9} \cos 9x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $-\frac{1}{9} \cos 9x + C$.

е) Для нахождения интеграла $\int (\cos 2x \cos 3x - \sin 2x \sin 3x) dx$ заметим, что выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$.
Таким образом, подынтегральная функция упрощается до $\cos(2x + 3x) = \cos 5x$.
Интеграл принимает вид:
$\int \cos 5x \, dx$
Интегрируем, используя правило $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:
$\frac{1}{5} \sin 5x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.
Ответ: $\frac{1}{5} \sin 5x + C$.

6.17* a) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};$

б) $\int \frac{dx}{1+x^2};$

В) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-2x^2}};$

Г) $\int \frac{dx}{1+3x^2};$

Д) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-(3x+1)^2}};$

е) $\int \frac{dx}{1+(4x-1)^2};$

Ж) $\int \frac{dx}{\sqrt{4x-4x^2}};$

З) $\int \frac{dx}{4x^2+12x+10}.$

а) Данный интеграл является табличным: $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin(x) + C$.
Ответ: $\arcsin(x) + C$

б) Данный интеграл является табличным: $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan(x) + C$.
Ответ: $\arctan(x) + C$

в) Приведем интеграл к табличному виду $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin(\frac{u}{a}) + C$.
$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 2x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1 - (\sqrt{2}x)^2}}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2}x$, тогда $dt = \sqrt{2}dx$, откуда $dx = \frac{dt}{\sqrt{2}}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(\sqrt{2}x) + C$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(\sqrt{2}x) + C$

г) Приведем интеграл к табличному виду $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a}\arctan(\frac{u}{a}) + C$.
$\int \frac{dx}{1 + 3x^2} = \int \frac{dx}{1 + (\sqrt{3}x)^2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{3}x$, тогда $dt = \sqrt{3}dx$, откуда $dx = \frac{dt}{\sqrt{3}}$.
$\int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}x) + C$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}x) + C$

д) Интеграл вида $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - (3x + 1)^2}}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x + 1$, тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{3}\arcsin(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{3}\arcsin(3x + 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{3}\arcsin(3x + 1) + C$

е) Интеграл вида $\int \frac{dx}{1 + (4x - 1)^2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4x - 1$, тогда $dt = 4dx$, откуда $dx = \frac{dt}{4}$.
$\int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{1}{4}\arctan(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{4}\arctan(4x - 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{4}\arctan(4x - 1) + C$

ж) Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$4x - 4x^2 = -(4x^2 - 4x) = -( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 ) = -( (2x - 1)^2 - 1 ) = 1 - (2x - 1)^2$.
Интеграл принимает вид: $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - (2x - 1)^2}}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x - 1$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{2}\arcsin(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{2}\arcsin(2x - 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2}\arcsin(2x - 1) + C$

з) Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат:
$4x^2 + 12x + 10 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 10 = (2x + 3)^2 - 9 + 10 = (2x + 3)^2 + 1$.
Интеграл принимает вид: $\int \frac{dx}{1 + (2x + 3)^2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x + 3$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.
$\int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2}\arctan(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{2}\arctan(2x + 3) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2}\arctan(2x + 3) + C$

6.18* Докажите справедливость равенства:

a) $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C (x \ne 0);$

б) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = - \arccos x + C (-1 < x < 1).$

а)

Чтобы доказать справедливость равенства $ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C $, необходимо показать, что производная правой части равна подынтегральному выражению. То есть, нужно доказать, что $ (\ln|x| + C)' = \frac{1}{x} $.

Производная константы $ C $ равна нулю. Рассмотрим производную функции $ \ln|x| $. Функция определена для всех $ x \neq 0 $. Разберем два случая:

1. При $ x > 0 $, имеем $ |x| = x $. Тогда производная равна: $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $.

2. При $ x < 0 $, имеем $ |x| = -x $. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $ (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} $.

Таким образом, для всех $ x \neq 0 $ производная функции $ \ln|x| $ равна $ \frac{1}{x} $. Следовательно, $ (\ln|x| + C)' = \frac{1}{x} $, и равенство доказано по определению неопределенного интеграла.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Чтобы доказать справедливость равенства $ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = -\arccos x + C $, необходимо показать, что производная правой части равна подынтегральной функции. То есть, нужно доказать, что $ (-\arccos x + C)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $.

Производная константы $ C $ равна нулю. Нам нужно найти производную от $ -\arccos x $. Воспользуемся известной формулой для производной арккосинуса, которая справедлива для $ -1 < x < 1 $: $ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $.

Тогда производная правой части исходного равенства будет: $ (-\arccos x + C)' = -(\arccos x)' + (C)' = - \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) + 0 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $.

Поскольку производная функции $ -\arccos x + C $ равна подынтегральной функции $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $, равенство является верным по определению неопределенного интеграла.

Ответ: Равенство доказано.