Номер 6.13, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.13, страница 172.

Условие.

6.13 a) $\int (x + \sin x) dx$;

б) $\int (x^2 - \cos x) dx$;

в) $\int \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\cos^2 x}\right) dx$;

г) $\int \left(x^4 + \frac{1}{\sin^2 x}\right) dx$;

д) $\int \left(e^x - \frac{1}{x}\right) dx$;

е) $\int \left(6^x + \frac{1}{x}\right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения интеграла $\int (x + \sin x)dx$ воспользуемся свойством линейности интеграла. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

$\int (x + \sin x)dx = \int x dx + \int \sin x dx$

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

1. Интеграл от степенной функции $x$ (где степень равна 1): $\int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = \frac{x^2}{2} + C_1$.

2. Интеграл от функции синус: $\int \sin x dx = -\cos x + C_2$.

Складывая результаты и объединяя константы интегрирования $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$, получаем:

$\frac{x^2}{2} - \cos x + C$

Ответ: $\frac{x^2}{2} - \cos x + C$

б) Для нахождения интеграла $\int (x^2 - \cos x)dx$ применим свойство линейности. Интеграл от разности функций равен разности интегралов:

$\int (x^2 - \cos x)dx = \int x^2 dx - \int \cos x dx$

Используем таблицу интегралов для каждой функции:

1. Интеграл от $x^2$: $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = \frac{x^3}{3} + C_1$.

2. Интеграл от функции косинус: $\int \cos x dx = \sin x + C_2$.

Вычитаем второй результат из первого и объединяем константы:

$\frac{x^3}{3} - \sin x + C$

Ответ: $\frac{x^3}{3} - \sin x + C$

в) Найдем интеграл $\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\cos^2 x})dx$. Сначала представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{\frac{1}{2}}$ и применим свойство линейности интеграла:

$\int (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\cos^2 x})dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Находим каждый интеграл по таблице:

1. Интеграл от $x^{\frac{1}{2}}$: $\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_1$. Это можно также записать как $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.

2. Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 x}$: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C_2$.

Объединяем результаты:

$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \tan x + C$

Ответ: $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \tan x + C$

г) Для решения интеграла $\int (x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{\sin^2 x})dx$ воспользуемся правилом интегрирования суммы:

$\int (x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{\sin^2 x})dx = \int x^{\frac{3}{4}} dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Найдем интегралы по отдельности, обращаясь к таблице:

1. Интеграл от степенной функции $x^{\frac{3}{4}}$: $\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} + C_1 = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} + C_1$.

2. Интеграл от $\frac{1}{\sin^2 x}$: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C_2$.

Складываем полученные выражения:

$\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} - \cot x + C$

Ответ: $\frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} - \cot x + C$

д) Рассмотрим интеграл $\int (e^x - \frac{1}{x})dx$. Используя свойство линейности, разделим его на два интеграла:

$\int (e^x - \frac{1}{x})dx = \int e^x dx - \int \frac{1}{x} dx$

Находим каждый из них по таблице основных интегралов:

1. Интеграл от экспоненциальной функции $e^x$: $\int e^x dx = e^x + C_1$.

2. Интеграл от $\frac{1}{x}$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2$.

Объединяем результаты:

$e^x - \ln|x| + C$

Ответ: $e^x - \ln|x| + C$

е) Найдем интеграл $\int (6^x + \frac{1}{x})dx$. Разделим его на сумму двух интегралов:

$\int (6^x + \frac{1}{x})dx = \int 6^x dx + \int \frac{1}{x} dx$

Воспользуемся таблицей интегралов:

1. Интеграл от показательной функции $6^x$: по формуле $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, в нашем случае $a=6$, поэтому $\int 6^x dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C_1$.

2. Интеграл от $\frac{1}{x}$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2$.

Складываем полученные выражения и объединяем константы:

$\frac{6^x}{\ln 6} + \ln|x| + C$

Ответ: $\frac{6^x}{\ln 6} + \ln|x| + C$