Номер 6.7, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.7, страница 171.

Условие.

6.7 Для функции $f(x)$ найдите ту первообразную, график которой проходит через точку $A$:

a) $f(x) = x$, $A(2; 0)$;

б) $f(x) = x^2$, $A(3; 6)$;

в) $f(x) = x^3$, $A(-2; 3)$;

г) $f(x) = \sin x$, $A\left(\frac{\pi}{2}; 2\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для функции $f(x) = x$ найдем общий вид ее первообразных. Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=1$, поэтому общий вид первообразной:
$F(x) = \int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.
По условию, график этой первообразной проходит через точку $A(2; 0)$. Это означает, что при $x=2$ значение функции $F(x)$ равно $0$, то есть $F(2) = 0$.
Подставим эти значения в формулу для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:
$F(2) = \frac{2^2}{2} + C = 0$
$\frac{4}{2} + C = 0$
$2 + C = 0$
$C = -2$
Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = \frac{x^2}{2} - 2$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 2$.

б) Для функции $f(x) = x^2$ найдем общий вид ее первообразных:
$F(x) = \int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.
График первообразной проходит через точку $A(3; 6)$, поэтому должно выполняться равенство $F(3) = 6$.
Подставим значения $x=3$ и $F(x)=6$ в формулу для первообразной:
$F(3) = \frac{3^3}{3} + C = 6$
$\frac{27}{3} + C = 6$
$9 + C = 6$
$C = 6 - 9 = -3$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 3$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 3$.

в) Для функции $f(x) = x^3$ найдем общий вид ее первообразных:
$F(x) = \int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.
График первообразной проходит через точку $A(-2; 3)$, поэтому $F(-2) = 3$.
Подставим значения $x=-2$ и $F(x)=3$:
$F(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + C = 3$
$\frac{16}{4} + C = 3$
$4 + C = 3$
$C = 3 - 4 = -1$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 1$.

г) Для функции $f(x) = \sin x$ найдем общий вид ее первообразных. Первообразной для $\sin x$ является $-\cos x$.
$F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$.
График первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{2}; 2)$, поэтому $F(\frac{\pi}{2}) = 2$.
Подставим значения $x=\frac{\pi}{2}$ и $F(x)=2$:
$F(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C = 2$
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$-0 + C = 2$
$C = 2$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\cos x + 2$.
Ответ: $F(x) = -\cos x + 2$.