Номер 6.3, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.3, страница 170.

Условие.

6.3 a) $f(x) = \sin x, F(x) = -\cos x;$

б) $f(x) = \cos x, F(x) = \sin x;$

в) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}, F(x) = \operatorname{tg} x;$

г) $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}, F(x) = \operatorname{ctg} x;$

д) $f(x) = e^x, F(x) = e^x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную от $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$, то есть, что выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

а) Дано: $f(x) = \sin x$, $F(x) = -\cos x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-\cos x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:

$F'(x) = -(-\sin x) = \sin x$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \sin x = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = -\cos x$ является первообразной для $f(x) = \sin x$.

б) Дано: $f(x) = \cos x$, $F(x) = \sin x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sin x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$F'(x) = \cos x$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \cos x = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = \sin x$ является первообразной для $f(x) = \cos x$.

в) Дано: $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F(x) = \text{tg } x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\text{tg } x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$F'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = \text{tg } x$ является первообразной для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

г) Дано: $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$, $F(x) = \text{ctg } x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\text{ctg } x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$F'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = \text{ctg } x$ является первообразной для $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

д) Дано: $f(x) = e^x$, $F(x) = e^x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (e^x)'$.

Используя правило дифференцирования $(e^x)' = e^x$, получаем:

$F'(x) = e^x$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = e^x = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = e^x$ является первообразной для $f(x) = e^x$.