Номер 5.123, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.123, страница 167.

Условие.

5.123 Напишите формулу Тейлора для функции:

а) $y = \sin x$ для $n = 7$;

б) $y = \cos x$ для $n = 7$;

в) $y = \operatorname{tg} x$ для $n = 5$;

г) $y = e^x$ для $n = 8$;

д) $y = \ln (1 + x)$ для $n = 5$;

е) $y = \frac{1}{1 + x}$ для $n = 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Формула Тейлора для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0 = 0$ (формула Маклорена) до члена $n$-го порядка с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$, где $o(x^n)$ — функция, такая что $\lim_{x\to0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$.Найдем разложения для каждой из заданных функций.

а) $y = \sin x$ для $n = 7$
Найдем производные функции $f(x) = \sin x$ до 7-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \sin x \implies f(0) = 0$
$f'(x) = \cos x \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = -\sin x \implies f''(0) = 0$
$f'''(x) = -\cos x \implies f'''(0) = -1$
$f^{(4)}(x) = \sin x \implies f^{(4)}(0) = 0$
$f^{(5)}(x) = \cos x \implies f^{(5)}(0) = 1$
$f^{(6)}(x) = -\sin x \implies f^{(6)}(0) = 0$
$f^{(7)}(x) = -\cos x \implies f^{(7)}(0) = -1$
Подставляем найденные значения в общую формулу Маклорена:
$\sin x = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{0}{6!}x^6 + \frac{-1}{7!}x^7 + o(x^7)$
После упрощения получаем:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^7)$
Ответ: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)$.

б) $y = \cos x$ для $n = 7$
Найдем производные функции $f(x) = \cos x$ до 7-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \cos x \implies f(0) = 1$
$f'(x) = -\sin x \implies f'(0) = 0$
$f''(x) = -\cos x \implies f''(0) = -1$
$f'''(x) = \sin x \implies f'''(0) = 0$
$f^{(4)}(x) = \cos x \implies f^{(4)}(0) = 1$
$f^{(5)}(x) = -\sin x \implies f^{(5)}(0) = 0$
$f^{(6)}(x) = -\cos x \implies f^{(6)}(0) = -1$
$f^{(7)}(x) = \sin x \implies f^{(7)}(0) = 0$
Подставляем значения в формулу:
$\cos x = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + \frac{-1}{6!}x^6 + \frac{0}{7!}x^7 + o(x^7)$
После упрощения получаем (коэффициент при $x^7$ равен нулю):
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^7)$
Ответ: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + o(x^7)$.

в) $y = \operatorname{tg} x$ для $n = 5$
Найдем производные функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ до 5-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \operatorname{tg} x \implies f(0) = 0$
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = 2\sec^2 x \operatorname{tg} x \implies f''(0) = 0$
$f'''(x) = 4\sec^2 x \operatorname{tg}^2 x + 2\sec^4 x \implies f'''(0) = 2$
$f^{(4)}(x) = 8\sec^2 x \operatorname{tg}^3 x + 16\sec^4 x \operatorname{tg} x \implies f^{(4)}(0) = 0$
$f^{(5)}(x) = 16\sec^2 x \operatorname{tg}^4 x + 88\sec^4 x \operatorname{tg}^2 x + 16\sec^6 x \implies f^{(5)}(0) = 16$
Подставляем значения в формулу:
$\operatorname{tg} x = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{16}{5!}x^5 + o(x^5)$
После упрощения получаем:
$\operatorname{tg} x = x + \frac{2}{6}x^3 + \frac{16}{120}x^5 + o(x^5) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$
Ответ: $\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$.

г) $y = e^x$ для $n = 8$
Для функции $f(x) = e^x$ любая ее производная равна самой функции: $f^{(k)}(x) = e^x$ для любого $k \ge 0$.
Следовательно, значение любой производной в точке $x=0$ равно $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$.
Подставляя эти значения в формулу Маклорена для $n=8$, получаем:
$e^x = \sum_{k=0}^{8} \frac{1}{k!}x^k + o(x^8) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + o(x^8)$
Ответ: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \frac{x^6}{720} + \frac{x^7}{5040} + \frac{x^8}{40320} + o(x^8)$.

д) $y = \ln(1 + x)$ для $n = 5$
Найдем производные функции $f(x) = \ln(1+x)$ до 5-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \ln(1+x) \implies f(0) = \ln(1) = 0$
$f'(x) = (1+x)^{-1} \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = -1(1+x)^{-2} \implies f''(0) = -1$
$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} \implies f'''(0) = 2$
$f^{(4)}(x) = -6(1+x)^{-4} \implies f^{(4)}(0) = -6$
$f^{(5)}(x) = 24(1+x)^{-5} \implies f^{(5)}(0) = 24$
Подставляем значения в формулу:
$\ln(1+x) = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{-6}{4!}x^4 + \frac{24}{5!}x^5 + o(x^5)$
После упрощения получаем:
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2}{6}x^3 - \frac{6}{24}x^4 + \frac{24}{120}x^5 + o(x^5) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$
Ответ: $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$.

е) $y = \frac{1}{1 + x}$ для $n = 5$
Для разложения этой функции можно использовать известную формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots$, при $|q|<1$.
Положим $q = -x$. Тогда при $|x|<1$ получаем:
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = 1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + \dots$
Записывая формулу Маклорена до $n=5$, мы берем первые 6 членов ряда (от 0-го до 5-го) и добавляем остаточный член:
$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)$
Ответ: $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)$.