Номер 5.120, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.120, страница 162.

Условие.

5.120 Исследуйте функцию $y = \frac{\ln x}{x}$ и постройте её график. Сравните числа:

a) $3^{\pi}$ и $\pi^3$;

б) $e^3$ и $3^e$;

в) $e^{\pi}$ и $\pi^e$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Проведем полное исследование функции $y = \frac{\ln x}{x}$.

1. Область определения функции

Функция определена, когда знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$) и аргумент логарифма положителен ($x > 0$). Объединяя эти условия, получаем область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Четность и периодичность

Область определения не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$: пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
• С осью $Ox$: $y=0 \Rightarrow \frac{\ln x}{x} = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка пересечения — $(1; 0)$.

4. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции на границе области определения, при $x \to 0^+$.
  $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = \left(\frac{-\infty}{0^+}\right) = -\infty$.
  Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальные асимптоты: Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$.
  $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \left(\frac{\infty}{\infty}\right)$. Применим правило Лопиталя:
  $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$.
  Следовательно, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$y' = \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \Rightarrow 1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=e$ разбивает область определения:

• При $x \in (0, e)$, $1 - \ln x > 0$, значит $y' > 0$, и функция возрастает.
• При $x \in (e, +\infty)$, $1 - \ln x < 0$, значит $y' < 0$, и функция убывает.

В точке $x=e$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Максимальное значение функции: $y_{max} = y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.
Точка максимума: $(e, \frac{1}{e}) \approx (2.72, 0.37)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)' = \frac{(1 - \ln x)' \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2x\ln x - 3x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $y''=0$.

$\frac{2\ln x - 3}{x^3} = 0 \Rightarrow 2\ln x - 3 = 0 \Rightarrow \ln x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{3/2}$.

Определим знаки второй производной:

• При $x \in (0, e^{3/2})$, $2\ln x - 3 < 0$, значит $y'' < 0$, и график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (e^{3/2}, +\infty)$, $2\ln x - 3 > 0$, значит $y'' > 0$, и график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=e^{3/2}$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
Координаты точки перегиба: $(e^{3/2}, \frac{\ln(e^{3/2})}{e^{3/2}}) = (e^{3/2}, \frac{3/2}{e^{3/2}}) \approx (4.48, 0.33)$.

7. Построение графика

Сводка результатов исследования:

• Область определения: $(0, +\infty)$.
• Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=0$ (горизонтальная).
• Пересечение с осью Ox: $(1, 0)$.
• Возрастание на $(0, e)$, убывание на $(e, +\infty)$.
• Точка максимума $(e, 1/e)$.
• Выпуклость вверх на $(0, e^{3/2})$, выпуклость вниз на $(e^{3/2}, +\infty)$.
• Точка перегиба $(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}})$.

График функции начинается из $-\infty$ вблизи оси $Oy$, возрастает, пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, достигает своего максимума в точке $(e, 1/e)$. После этого функция убывает, меняет направление выпуклости в точке перегиба при $x=e^{3/2}$ и асимптотически приближается к оси $Ox$ справа, оставаясь в положительной области.

---

Для сравнения чисел вида $a^b$ и $b^a$ воспользуемся результатами исследования функции $y(x) = \frac{\ln x}{x}$. Сравнение $a^b$ и $b^a$ эквивалентно сравнению их натуральных логарифмов: $b\ln a$ и $a\ln b$. Разделив оба выражения на $ab$ (полагая $a,b>0$), получаем, что сравнение эквивалентно сравнению значений функции $y(a) = \frac{\ln a}{a}$ и $y(b) = \frac{\ln b}{b}$. Так как функция $f(t)=\ln t$ монотонно возрастающая, то знак неравенства между $a^b$ и $b^a$ будет таким же, как и между $y(a)$ и $y(b)$.

а) Сравнить $3^\pi$ и $\pi^3$.

Сравним значения функции $y(x) = \frac{\ln x}{x}$ в точках $x=3$ и $x=\pi$.
Числа $3$ и $\pi$ ($\pi \approx 3.14$) оба больше $e$ ($e \approx 2.72$).
На промежутке $(e, +\infty)$ функция $y(x)$ является строго убывающей.
Поскольку $3 < \pi$, то $y(3) > y(\pi)$.
$\frac{\ln 3}{3} > \frac{\ln \pi}{\pi} \Rightarrow \pi \ln 3 > 3 \ln \pi \Rightarrow \ln(3^\pi) > \ln(\pi^3)$.
Следовательно, $3^\pi > \pi^3$.
Ответ: $3^\pi > \pi^3$.

б) Сравнить $e^3$ и $3^e$.

Сравним значения функции $y(x) = \frac{\ln x}{x}$ в точках $x=e$ и $x=3$.
Из исследования функции мы знаем, что в точке $x=e$ достигается глобальный максимум.
Поэтому для любого $x \neq e$ выполняется неравенство $y(e) > y(x)$.
В частности, $y(e) > y(3)$.
$\frac{\ln e}{e} > \frac{\ln 3}{3} \Rightarrow 3 \ln e > e \ln 3 \Rightarrow \ln(e^3) > \ln(3^e)$.
Следовательно, $e^3 > 3^e$.
Ответ: $e^3 > 3^e$.

в) Сравнить $e^\pi$ и $\pi^e$.

Сравним значения функции $y(x) = \frac{\ln x}{x}$ в точках $x=e$ и $x=\pi$.
Как и в предыдущем пункте, используем тот факт, что в точке $x=e$ функция достигает своего глобального максимума.
Так как $\pi \neq e$, то $y(e) > y(\pi)$.
$\frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi} \Rightarrow \pi \ln e > e \ln \pi \Rightarrow \ln(e^\pi) > \ln(\pi^e)$.
Следовательно, $e^\pi > \pi^e$.
Ответ: $e^\pi > \pi^e$.