Номер 5.113, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.113, страница 161.

Условие.

5.113 Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции и постройте её график:

а) $y = \frac{1}{4} x^2 (x - 4)^2;$

б) $y = 4x^2 (x - 2)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{1}{4}x^2(x-4)^2$

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Раскроем скобки для удобства дифференцирования:

$y = \frac{1}{4}x^2(x^2 - 8x + 16) = \frac{1}{4}(x^4 - 8x^3 + 16x^2)$.

Найдем первую производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{1}{4}(x^4 - 8x^3 + 16x^2)\right)' = \frac{1}{4}(4x^3 - 24x^2 + 32x) = x^3 - 6x^2 + 8x$.

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные (критические) точки:

$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$

$x(x^2 - 6x + 8) = 0$

Решаем уравнение. Один корень $x_1 = 0$. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_2 = 2$ и $x_3 = 4$.

Таким образом, критические точки: $x=0, x=2, x=4$.

4. Определение промежутков возрастания и убывания.

Исследуем знак производной $y' = x(x-2)(x-4)$ на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = (-1)(-1-2)(-1-4) = -15 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x=1$, $y'(1) = 1(1-2)(1-4) = 3 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2; 4)$, например $x=3$, $y'(3) = 3(3-2)(3-4) = -3 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$, $y'(5) = 5(5-2)(5-4) = 15 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $[0; 2]$ и $[4; +\infty)$, и убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; 4]$.

5. Нахождение точек экстремума.

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = \frac{1}{4}(0)^2(0-4)^2 = 0$. Точка минимума: $(0, 0)$.
• В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{1}{4}(2)^2(2-4)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot (-2)^2 = 4$. Точка максимума: $(2, 4)$.
• В точке $x=4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(4) = \frac{1}{4}(4)^2(4-4)^2 = 0$. Точка минимума: $(4, 0)$.

6. Построение графика.

Для построения графика используем найденные точки и информацию о поведении функции:

• Точки пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow x=0, x=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Точки экстремума: минимум $(0, 0)$, максимум $(2, 4)$, минимум $(4, 0)$.

График функции имеет форму буквы "W". Он симметричен относительно прямой $x=2$. Начинаясь в левой верхней четверти, он убывает до точки $(0, 0)$, затем возрастает до точки $(2, 4)$, снова убывает до точки $(4, 0)$, и после этого возрастает, уходя в правую верхнюю четверть. В точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$ график касается оси Ox.

Ответ:
Промежутки возрастания: $[0; 2]$ и $[4; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[2; 4]$.
Точка максимума: $(2; 4)$.
Точки минимума: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

---

б) $y = 4x^2(x-2)^2$

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Раскроем скобки:

$y = 4x^2(x^2 - 4x + 4) = 4x^4 - 16x^3 + 16x^2$.

Найдем первую производную функции $y'$:

$y' = (4x^4 - 16x^3 + 16x^2)' = 16x^3 - 48x^2 + 32x$.

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю:

$16x^3 - 48x^2 + 32x = 0$

$16x(x^2 - 3x + 2) = 0$

Решаем уравнение. Один корень $x_1 = 0$. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_2 = 1$ и $x_3 = 2$.

Таким образом, критические точки: $x=0, x=1, x=2$.

4. Определение промежутков возрастания и убывания.

Исследуем знак производной $y' = 16x(x-1)(x-2)$ на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = 16(-1)(-2)(-3) = -96 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$, $y'(0.5) = 16(0.5)(0.5-1)(0.5-2) = 16(0.5)(-0.5)(-1.5) = 6 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; 2)$, например $x=1.5$, $y'(1.5) = 16(1.5)(1.5-1)(1.5-2) = 16(1.5)(0.5)(-0.5) = -6 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = 16(3)(3-1)(3-2) = 96 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$, и убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$.

5. Нахождение точек экстремума.

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 4(0)^2(0-2)^2 = 0$. Точка минимума: $(0, 0)$.
• В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 4(1)^2(1-2)^2 = 4 \cdot 1 \cdot (-1)^2 = 4$. Точка максимума: $(1, 4)$.
• В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 4(2)^2(2-2)^2 = 0$. Точка минимума: $(2, 0)$.

6. Построение графика.

Для построения графика используем найденные точки и информацию о поведении функции:

• Точки пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Точки экстремума: минимум $(0, 0)$, максимум $(1, 4)$, минимум $(2, 0)$.

График функции также имеет форму буквы "W" и симметричен относительно прямой $x=1$. Он убывает до точки $(0, 0)$, затем возрастает до локального максимума в точке $(1, 4)$, после чего убывает до точки $(2, 0)$, и далее возрастает до бесконечности. В точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$ график касается оси Ox.

Ответ:
Промежутки возрастания: $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$.
Точка максимума: $(1; 4)$.
Точки минимума: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.