Номер 5.117, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.117* Исследуйте функцию и постройте её график:

a) $y = -x^2 (0.5x^2 - 4);$

б) $y = (x^2 - 1)^2;$

в) $y = -x + \frac{4}{3 - x} - 2;$

г) $y = x + \frac{1}{x - 1} - 3;$

д) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1};$

е) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4};$

ж) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1};$

3) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}.$

Для исследования функции по стандартной схеме мы определим область определения, четность, точки пересечения с осями, асимптоты и экстремумы через производную.

а) $y = -x^2(0.5x^2 - 4) = -0.5x^4 + 4x^2$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
• Четность: $f(-x) = f(x)$, функция четная (симметрична относительно оси $y$).
• Нули: $-0.5x^2(x^2 - 8) = 0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{8} \approx \pm 2.8$.
• Экстремумы: $y' = -2x^3 + 8x$. $y'=0 \Rightarrow -2x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x=0, x=\pm 2$.
  Точки: $(-2; 8)$ — max, $(0; 0)$ — min, $(2; 8)$ — max.

б) $y = (x^2 - 1)^2$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
• Четность: Четная.
• Нули: $(x^2-1)=0 \Rightarrow x = \pm 1$. В этих точках график касается оси $x$.
• Экстремумы: $y' = 2(x^2 - 1) \cdot 2x = 4x(x^2 - 1)$. $y'=0 \Rightarrow x=0, x=\pm 1$.
  Точки: $(-1; 0)$ — min, $(0; 1)$ — max, $(1; 0)$ — min. (График "W"-образной формы).

в) $y = -x + \frac{4}{3-x} - 2 = -x - \frac{4}{x-3} - 2$

• Область определения: $x \neq 3$.
• Асимптоты: Вертикальная $x=3$. Наклонная $y = -x - 2$.
• Экстремумы: $y' = -1 + \frac{4}{(x-3)^2}$. $y'=0 \Rightarrow (x-3)^2 = 4 \Rightarrow x-3 = \pm 2$.
  $x=1 \Rightarrow y = -1 + \frac{4}{2} - 2 = -1$ (min).
  $x=5 \Rightarrow y = -5 + \frac{4}{-2} - 2 = -9$ (max).

г) $y = x + \frac{1}{x-1} - 3$

• Область определения: $x \neq 1$.
• Асимптоты: Вертикальная $x=1$. Наклонная $y = x - 3$.
• Экстремумы: $y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}$. $y'=0 \Rightarrow (x-1)^2 = 1 \Rightarrow x-1 = \pm 1$.
  $x=2 \Rightarrow y = 2 + 1 - 3 = 0$ (min).
  $x=0 \Rightarrow y = 0 - 1 - 3 = -4$ (max).

д) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$ (знаменатель всегда $>0$).
• Асимптоты: Горизонтальная $y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x^2+1} = 1$.
• Четность: Четная.
• Экстремумы: $y' = \frac{2x(x^2+1) - 2x(x^2-4)}{(x^2+1)^2} = \frac{10x}{(x^2+1)^2}$.
  $x=0 \Rightarrow y = -4$ (точка минимума).

е) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
• Асимптоты: Горизонтальная $y = 1$.
• Нули: $x = \pm 2$.
• Экстремумы: $y' = \frac{2x(x^2+4) - 2x(x^2-4)}{(x^2+4)^2} = \frac{16x}{(x^2+4)^2}$.
  $x=0 \Rightarrow y = -1$ (точка минимума).

ж) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$

• Область определения: $x \neq \pm 1$.
• Асимптоты: Вертикальные $x=1, x=-1$. Горизонтальная $y=1$.
• Четность: Четная.
• Экстремумы: $y' = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2}$.
  $x=0 \Rightarrow y = 4$ (точка максимума).

з) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$

• Область определения: $x \neq \pm 1$.
• Асимптоты: Вертикальные $x=1, x=-1$. Горизонтальная $y=1$.
• Четность: Четная.
• Экстремумы: $y' = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$.
  $x=0 \Rightarrow y = -1$ (точка максимума).