Номер 5.115, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.115, страница 161.

Условие.

5.115 Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции, постройте её график. Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на указанном отрезке:

а) $y = -2x^4 + 4x^2 + 3$, $[-2; 0,5]$

б) $y = x^3 - 3x + 3$, $[-0,5; 3]$

в) $y = (x - 1)^2 (2x + 4)$, $[-2,5; 1,5]$

г) $y = (2x - 4)(x + 1)^2$, $[-1,5; 2,5]$

д) $y = \frac{1}{8}(x + 3)(x - 3)^2$, $[-2; 1]$

е) $y = \frac{1}{4}(x - 3)(x + 3)^2$, $[-4; -1]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = -2x^4 + 4x^2 + 3$ на отрезке $[-2; 0,5]$

1. Исследуем функцию. Сначала найдём её производную:
$y' = (-2x^4 + 4x^2 + 3)' = -8x^3 + 8x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$-8x^3 + 8x = 0$
$-8x(x^2 - 1) = 0$
$-8x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На интервале $(-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; \infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Таким образом:
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.
Промежутки убывания: $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$.
$x = -1$ и $x = 1$ — точки максимума.
$x = 0$ — точка минимума.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:
$y_{max} = y(-1) = -2(-1)^4 + 4(-1)^2 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$.
$y_{min} = y(0) = -2(0)^4 + 4(0)^2 + 3 = 3$.
$y_{max} = y(1) = -2(1)^4 + 4(1)^2 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$.

5. Для построения графика можно использовать точки экстремумов $(-1, 5)$, $(0, 3)$, $(1, 5)$. Функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

6. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 0,5]$.
Критические точки, попадающие в отрезок: $x = -1$ и $x = 0$.
Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:
$y(-2) = -2(-2)^4 + 4(-2)^2 + 3 = -32 + 16 + 3 = -13$.
$y(-1) = 5$.
$y(0) = 3$.
$y(0,5) = -2(0,5)^4 + 4(0,5)^2 + 3 = -2(0,0625) + 4(0,25) + 3 = -0,125 + 1 + 3 = 3,875$.
Сравнивая значения $\{-13, 5, 3, 3,875\}$, находим:
Наибольшее значение на отрезке: $y_{наиб} = 5$.
Наименьшее значение на отрезке: $y_{наим} = -13$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$. Промежутки убывания: $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$. Точки максимума: $x = -1, x=1$. Точка минимума: $x = 0$. На отрезке $[-2; 0,5]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 5$ (при $x=-1$), наименьшее значение $y_{наим} = -13$ (при $x=-2$).

---

б) $y = x^3 - 3x + 3$ на отрезке $[-0,5; 3]$

1. Найдём производную функции:
$y' = (x^3 - 3x + 3)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдём критические точки:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Определим знаки производной: $y' = 3(x-1)(x+1)$.
- На $(-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На $(1; \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Таким образом:
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 1]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = 1^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$.

4. Ключевые точки для графика: точка максимума $(-1, 5)$, точка минимума $(1, 1)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-0,5; 3]$.
Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку, а $x=-1$ — нет.
Вычислим значения функции в точке $x=1$ и на концах отрезка:
$y(-0,5) = (-0,5)^3 - 3(-0,5) + 3 = -0,125 + 1,5 + 3 = 4,375$.
$y(1) = 1$.
$y(3) = 3^3 - 3(3) + 3 = 27 - 9 + 3 = 21$.
Сравнивая значения $\{4,375, 1, 21\}$, находим:
Наибольшее значение на отрезке: $y_{наиб} = 21$.
Наименьшее значение на отрезке: $y_{наим} = 1$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 1]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-0,5; 3]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 21$ (при $x=3$), наименьшее значение $y_{наим} = 1$ (при $x=1$).

---

в) $y = (x - 1)^2 (2x + 4)$ на отрезке $[-2,5; 1,5]$

1. Упростим функцию: $y = (x^2 - 2x + 1)(2x + 4) = 2(x^2 - 2x + 1)(x + 2) = 2(x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2) = 2(x^3 - 3x + 2) = 2x^3 - 6x + 4$.
Найдём производную:
$y' = (2x^3 - 6x + 4)' = 6x^2 - 6$.

2. Найдём критические точки:
$6x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Анализ знаков производной (аналогично пункту б):
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 1]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$.

4. Для графика используем точки экстремумов $(-1, 8)$ и $(1, 0)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-2,5; 1,5]$.
Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку.
$y(-2,5) = 2(-2,5)^3 - 6(-2,5) + 4 = 2(-15,625) + 15 + 4 = -31,25 + 19 = -12,25$.
$y(-1) = 8$.
$y(1) = 0$.
$y(1,5) = 2(1,5)^3 - 6(1,5) + 4 = 2(3,375) - 9 + 4 = 6,75 - 5 = 1,75$.
Сравнивая значения $\{-12,25, 8, 0, 1,75\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -12,25$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 1]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-2,5; 1,5]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 8$ (при $x=-1$), наименьшее значение $y_{наим} = -12,25$ (при $x=-2,5$).

---

г) $y = (2x - 4)(x + 1)^2$ на отрезке $[-1,5; 2,5]$

1. Упростим функцию: $y = 2(x - 2)(x^2 + 2x + 1) = 2(x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2) = 2(x^3 - 3x - 2) = 2x^3 - 6x - 4$.
Найдём производную:
$y' = (2x^3 - 6x - 4)' = 6x^2 - 6$.

2. Критические точки (как и в предыдущих пунктах): $x = -1, x = 1$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы:
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 1]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) - 4 = -2 + 6 - 4 = 0$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = 2(1)^3 - 6(1) - 4 = 2 - 6 - 4 = -8$.

4. Ключевые точки для графика: $(-1, 0)$ и $(1, -8)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-1,5; 2,5]$.
Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку.
$y(-1,5) = 2(-1,5)^3 - 6(-1,5) - 4 = 2(-3,375) + 9 - 4 = -6,75 + 5 = -1,75$.
$y(-1) = 0$.
$y(1) = -8$.
$y(2,5) = 2(2,5)^3 - 6(2,5) - 4 = 2(15,625) - 15 - 4 = 31,25 - 19 = 12,25$.
Сравнивая значения $\{-1,75, 0, -8, 12,25\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 12,25$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -8$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 1]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-1,5; 2,5]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 12,25$ (при $x=2,5$), наименьшее значение $y_{наим} = -8$ (при $x=1$).

---

д) $y = \frac{1}{8}(x + 3)(x - 3)^2$ на отрезке $[-2; 1]$

1. Упростим и найдём производную: $y = \frac{1}{8}(x+3)(x^2-6x+9) = \frac{1}{8}(x^3 - 3x^2 - 9x + 27)$.
$y' = \frac{1}{8}(3x^2 - 6x - 9) = \frac{3}{8}(x^2 - 2x - 3)$.

2. Найдём критические точки:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $(x-3)(x+1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

3. Определим знаки производной $y' = \frac{3}{8}(x-3)(x+1)$.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 3]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = \frac{1}{8}(-1+3)(-1-3)^2 = \frac{1}{8}(2)(16) = 4$.
$x = 3$ — точка минимума. $y(3) = \frac{1}{8}(3+3)(3-3)^2 = 0$.

4. Ключевые точки для графика: $(-1, 4)$ и $(3, 0)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-2; 1]$.
Критическая точка $x=-1$ принадлежит отрезку, а $x=3$ — нет.
$y(-2) = \frac{1}{8}(-2+3)(-2-3)^2 = \frac{1}{8}(1)(25) = \frac{25}{8} = 3,125$.
$y(-1) = 4$.
$y(1) = \frac{1}{8}(1+3)(1-3)^2 = \frac{1}{8}(4)(4) = \frac{16}{8} = 2$.
Сравнивая значения $\{3,125, 4, 2\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 4$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = 2$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 3]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 3$. На отрезке $[-2; 1]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (при $x=-1$), наименьшее значение $y_{наим} = 2$ (при $x=1$).

---

е) $y = \frac{1}{4}(x - 3)(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -1]$

1. Упростим и найдём производную: $y = \frac{1}{4}(x-3)(x^2+6x+9) = \frac{1}{4}(x^3 + 3x^2 - 9x - 27)$.
$y' = \frac{1}{4}(3x^2 + 6x - 9) = \frac{3}{4}(x^2 + 2x - 3)$.

2. Найдём критические точки:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $(x+3)(x-1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.

3. Определим знаки производной $y' = \frac{3}{4}(x+3)(x-1)$.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-3, 1]$.
$x = -3$ — точка максимума. $y(-3) = \frac{1}{4}(-3-3)(-3+3)^2 = 0$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = \frac{1}{4}(1-3)(1+3)^2 = \frac{1}{4}(-2)(16) = -8$.

4. Ключевые точки для графика: $(-3, 0)$ и $(1, -8)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-4; -1]$.
Критическая точка $x=-3$ принадлежит отрезку, а $x=1$ — нет.
$y(-4) = \frac{1}{4}(-4-3)(-4+3)^2 = \frac{1}{4}(-7)(1) = -\frac{7}{4} = -1,75$.
$y(-3) = 0$.
$y(-1) = \frac{1}{4}(-1-3)(-1+3)^2 = \frac{1}{4}(-4)(4) = -4$.
Сравнивая значения $\{-1,75, 0, -4\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -4$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-3, 1]$. Точка максимума: $x = -3$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-4; -1]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 0$ (при $x=-3$), наименьшее значение $y_{наим} = -4$ (при $x=-1$).