Номер 5.110, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.110, страница 156.

Условие.

5.110 Постройте график функции:

а) $y = \left|\frac{1}{x-2}\right|$;

б) $y = \frac{1}{|x|-2}$.

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = |\frac{1}{x-2}|$

Для построения графика данной функции выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Сначала построим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Далее построим график функции $y = \frac{1}{x-2}$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. При этом вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$, а горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.

3. Наконец, построим итоговый график $y = |\frac{1}{x-2}|$. Применение модуля ко всей функции ($y = |f(x)|$) означает, что та часть графика функции $f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика, которая уже находится выше или на оси Ox, остается на своем месте.

В случае функции $y = \frac{1}{x-2}$:

• При $x > 2$, значение $x-2$ положительно, значит $y = \frac{1}{x-2} > 0$. Эта часть графика уже находится выше оси Ox и не изменяется.
• При $x < 2$, значение $x-2$ отрицательно, значит $y = \frac{1}{x-2} < 0$. Эта часть графика находится ниже оси Ox, и мы должны отразить ее симметрично относительно оси Ox.

Область определения функции находится из условия $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы, обе из которых расположены выше оси абсцисс (в верхней полуплоскости). График имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

б) $y = \frac{1}{|x|-2}$

Построение этого графика удобно выполнить, используя свойство четности функции и преобразования графиков.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $|x|-2 \neq 0$, что эквивалентно $|x| \neq 2$. Таким образом, $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность. Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{1}{|-x|-2} = \frac{1}{|x|-2} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).

3. Построение для $x \ge 0$. В силу симметрии, достаточно построить часть графика для $x \ge 0$ и затем отразить ее симметрично относительно оси Oy. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x-2}$.

4. График $y = \frac{1}{x-2}$ при $x \ge 0$. Это часть гиперболы $y=\frac{1}{x}$, сдвинутой на 2 единицы вправо. Она состоит из двух фрагментов:

• Ветвь гиперболы при $x > 2$. Она полностью лежит в первой координатной четверти.
• Часть другой ветви гиперболы на промежутке $0 \le x < 2$. Эта часть лежит в четвертой координатной четверти и проходит через точку $(0, -0.5)$, так как $y(0)=\frac{1}{0-2}=-0.5$.

5. Построение полного графика. Теперь отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• Ветвь при $x > 2$ отразится в симметричную ей ветвь при $x < -2$.
• Фрагмент графика на промежутке $0 \le x < 2$ отразится в симметричный ему фрагмент на промежутке $-2 < x \le 0$.

В результате график будет иметь две вертикальные асимптоты ($x=-2$ и $x=2$) и одну горизонтальную асимптоту ($y=0$).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из трех частей. Две ветви расположены в верхней полуплоскости (при $|x| > 2$). Одна ветвь расположена в нижней полуплоскости на интервале $(-2, 2)$ и имеет локальный максимум в точке $(0, -0.5)$. Вертикальными асимптотами являются прямые $x=-2$ и $x=2$, а горизонтальной асимптотой — ось Ox ($y=0$).