Номер 5.110, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.110, страница 156.
№5.110 (с. 156)
Условие. №5.110 (с. 156)
скриншот условия

5.110 Постройте график функции:
а) $y = \left|\frac{1}{x-2}\right|$;
б) $y = \frac{1}{|x|-2}$.
Решение 1. №5.110 (с. 156)


Решение 4. №5.110 (с. 156)
а) $y = |\frac{1}{x-2}|$
Для построения графика данной функции выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика функции $y = \frac{1}{x}$.
1. Сначала построим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
2. Далее построим график функции $y = \frac{1}{x-2}$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. При этом вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$, а горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.
3. Наконец, построим итоговый график $y = |\frac{1}{x-2}|$. Применение модуля ко всей функции ($y = |f(x)|$) означает, что та часть графика функции $f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика, которая уже находится выше или на оси Ox, остается на своем месте.
В случае функции $y = \frac{1}{x-2}$:
- При $x > 2$, значение $x-2$ положительно, значит $y = \frac{1}{x-2} > 0$. Эта часть графика уже находится выше оси Ox и не изменяется.
- При $x < 2$, значение $x-2$ отрицательно, значит $y = \frac{1}{x-2} < 0$. Эта часть графика находится ниже оси Ox, и мы должны отразить ее симметрично относительно оси Ox.
Область определения функции находится из условия $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы, обе из которых расположены выше оси абсцисс (в верхней полуплоскости). График имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.
б) $y = \frac{1}{|x|-2}$
Построение этого графика удобно выполнить, используя свойство четности функции и преобразования графиков.
1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $|x|-2 \neq 0$, что эквивалентно $|x| \neq 2$. Таким образом, $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. Четность. Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{1}{|-x|-2} = \frac{1}{|x|-2} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
3. Построение для $x \ge 0$. В силу симметрии, достаточно построить часть графика для $x \ge 0$ и затем отразить ее симметрично относительно оси Oy. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x-2}$.
4. График $y = \frac{1}{x-2}$ при $x \ge 0$. Это часть гиперболы $y=\frac{1}{x}$, сдвинутой на 2 единицы вправо. Она состоит из двух фрагментов:
- Ветвь гиперболы при $x > 2$. Она полностью лежит в первой координатной четверти.
- Часть другой ветви гиперболы на промежутке $0 \le x < 2$. Эта часть лежит в четвертой координатной четверти и проходит через точку $(0, -0.5)$, так как $y(0)=\frac{1}{0-2}=-0.5$.
5. Построение полного графика. Теперь отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.
- Ветвь при $x > 2$ отразится в симметричную ей ветвь при $x < -2$.
- Фрагмент графика на промежутке $0 \le x < 2$ отразится в симметричный ему фрагмент на промежутке $-2 < x \le 0$.
В результате график будет иметь две вертикальные асимптоты ($x=-2$ и $x=2$) и одну горизонтальную асимптоту ($y=0$).
Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из трех частей. Две ветви расположены в верхней полуплоскости (при $|x| > 2$). Одна ветвь расположена в нижней полуплоскости на интервале $(-2, 2)$ и имеет локальный максимум в точке $(0, -0.5)$. Вертикальными асимптотами являются прямые $x=-2$ и $x=2$, а горизонтальной асимптотой — ось Ox ($y=0$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.110 расположенного на странице 156 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.110 (с. 156), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.