Номер 5.107, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.107, страница 155.

Условие.

Найдите асимптоты графика функции и постройте этот график (5.107—5.109):

5.107 а) $y = \frac{x - 3}{x + 1}$;

б) $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) $y = \frac{x-3}{x+1}$

Для нахождения асимптот и построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Прямая $x = a$ является вертикальной асимптотой, если предел функции при $x$, стремящемся к $a$, равен бесконечности. Проверим точку разрыва $x = -1$.

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x-3}{x+1} = \frac{-1-3}{-1^-+1} = \frac{-4}{0^-} = +\infty$

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x-3}{x+1} = \frac{-1-3}{-1^++1} = \frac{-4}{0^+} = -\infty$

Так как пределы слева и справа равны бесконечности, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Прямая $y = k$ является горизонтальной асимптотой, если $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{x-3}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 3/x}{1 + 1/x} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

Следовательно, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Поскольку существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот у графика функции нет.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{0-3}{0+1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{x-3}{x+1} \implies x-3=0 \implies x=3$. Точка $(3, 0)$.

4. Построение графика.

График данной функции — гипербола. Для удобства построения представим функцию в виде $y = k + \frac{m}{x-a}$, выделив целую часть:

$y = \frac{x-3}{x+1} = \frac{(x+1) - 1 - 3}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{4}{x+1} = 1 - \frac{4}{x+1}$

Это график функции $y = -4/x$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy. Его асимптоты $x=-1$ и $y=1$. Центр симметрии — точка $(-1, 1)$.

Этапы построения:

1. Чертим систему координат.
2. Пунктирными линиями проводим асимптоты $x=-1$ и $y=1$.
3. Отмечаем точки пересечения с осями: $(0, -3)$ и $(3, 0)$.
4. Коэффициент при дроби отрицательный ($-4$), поэтому ветви гиперболы располагаются во II и IV четвертях относительно новых осей (асимптот).
5. Проводим одну ветвь гиперболы через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$, приближая её к асимптотам $x=-1$ и $y=1$.
6. Вторую ветвь строим симметрично относительно точки пересечения асимптот $(-1, 1)$. Она будет располагаться в левом верхнем углу (II четверть относительно асимптот). Для точности можно найти контрольную точку, например, при $x=-2 \implies y = \frac{-2-3}{-2+1}=5$. Точка $(-2, 5)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=1$. График представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке $(-1, 1)$ и ветвями во II и IV квадрантах относительно асимптот, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

б) $y = \frac{2x+3}{x-1}$

Проведем исследование функции аналогично предыдущему пункту.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота. Проверим точку разрыва $x=1$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(1)+3}{1^--1} = \frac{5}{0^-} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(1)+3}{1^+-1} = \frac{5}{0^+} = +\infty$

Прямая $x = 1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота. Ищем предел при $x \to \infty$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}+\frac{3}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 3/x}{1 - 1/x} = \frac{2+0}{1-0} = 2$

Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2(0)+3}{0-1} = -3$. Точка $(0, -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2x+3}{x-1} \implies 2x+3=0 \implies x=-\frac{3}{2}=-1.5$. Точка $(-1.5, 0)$.

4. Построение графика.

Выделим целую часть в выражении для функции:

$y = \frac{2x+3}{x-1} = \frac{2(x-1)+2+3}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2 + \frac{5}{x-1}$

Это график функции $y=5/x$, смещенный на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Его асимптоты $x=1$ и $y=2$. Центр симметрии — точка $(1, 2)$.

Этапы построения:

1. Чертим асимптоты $x=1$ и $y=2$ (пунктирные линии).
2. Отмечаем точки пересечения с осями: $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$.
3. Коэффициент при дроби положительный ($5$), поэтому ветви гиперболы располагаются в I и III четвертях относительно новых осей (асимптот).
4. Проводим одну ветвь через точки $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$, приближая её к асимптотам $x=1$ и $y=2$. Эта ветвь находится в "левой нижней" части.
5. Вторую ветвь строим симметрично относительно центра $(1, 2)$. Она будет в "правом верхнем" углу. Для точности найдем контрольную точку, например, при $x=2 \implies y = \frac{2(2)+3}{2-1}=7$. Точка $(2, 7)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=2$. График представляет собой гиперболу с центром симметрии в точке $(1, 2)$ и ветвями в I и III квадрантах относительно асимптот, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(-1.5, 0)$.