Номер 5.100, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.100, страница 149.

Условие.

5.100 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом $V$ с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи нам необходимо найти размеры цилиндрической банки (диаметр основания и высоту), которые при заданном объеме $V$ будут иметь минимальную площадь полной поверхности. Минимальная площадь поверхности будет соответствовать наименьшим затратам жести.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра, состоящая из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника), вычисляется по формуле:
$S = 2 \cdot (\pi r^2) + (2\pi r)h = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Наша задача — минимизировать функцию $S(r, h)$ при постоянном значении объема $V$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу объема. Выразим высоту $h$:
$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения минимума функции $S(r)$ найдем ее производную по $r$ и приравняем ее к нулю.
$S'(r) = \frac{d}{dr}\left(2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\right) = (2\pi r^2)' + (2Vr^{-1})' = 4\pi r - 2Vr^{-2} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек:
$S'(r) = 0$
$4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$
$4\pi r^3 = 2V$
$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$

Отсюда находим оптимальный радиус:
$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, используя ранее полученное соотношение $h = \frac{V}{\pi r^2}$. Мы также можем использовать найденное условие для экстремума $2V = 4\pi r^3$. Подставим $V = 2\pi r^3$:
$h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$

Этот результат означает, что для минимизации расхода материала высота банки должна быть равна ее диаметру ($d = 2r$). Такая банка по форме напоминает куб, вписанный в сферу.

Теперь вычислим диаметр основания $d$ и высоту $h$ через заданный объем $V$.
Диаметр $d = 2r = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$. Чтобы внести 2 под корень, возведем ее в куб:
$d = \sqrt[3]{8 \cdot \frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$

Поскольку $h = 2r = d$, то высота также равна:
$h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$

Ответ: Диаметр основания и высота банки должны быть одинаковыми и равняться $d = h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$.