Номер 5.97, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.97, страница 148.

Условие.

5.97 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна $3\sqrt{3}$, а высота принимает значения, принадлежащие отрезку $[1,5; 3,5]$. Найдите параллелепипед, имеющий наибольший объём.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $a$ – сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, а $h$ – его высота.

Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле: $V = a^2h$.

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда связан с его измерениями (длиной, шириной и высотой) соотношением $d^2 = l^2 + w^2 + h^2$. Поскольку в основании лежит квадрат, то длина $l$ равна ширине $w$ и равна $a$, и формула принимает вид: $d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$.

По условию, диагональ $d = 3\sqrt{3}$, следовательно, ее квадрат $d^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$. Таким образом, мы имеем уравнение, связывающее сторону основания $a$ и высоту $h$: $2a^2 + h^2 = 27$.

Чтобы найти объем как функцию одной переменной, выразим $a^2$ из этого уравнения: $2a^2 = 27 - h^2 \implies a^2 = \frac{27 - h^2}{2}$.

Теперь подставим это выражение в формулу объема, чтобы получить объем $V$ как функцию от высоты $h$: $V(h) = a^2h = \left(\frac{27 - h^2}{2}\right)h = \frac{27h - h^3}{2}$.

По условию задачи, высота $h$ может принимать значения, принадлежащие отрезку $[1,5; 3,5]$. Нам необходимо найти наибольшее значение функции $V(h)$ на этом отрезке. Для этого найдем производную функции $V(h)$ по переменной $h$: $V'(h) = \frac{d}{dh}\left(\frac{1}{2}(27h - h^3)\right) = \frac{1}{2}(27 - 3h^2)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{2}(27 - 3h^2) = 0$,
$27 - 3h^2 = 0$,
$3h^2 = 27$,
$h^2 = 9$,
$h = 3$ (мы рассматриваем только положительное значение, так как $h$ – это высота).

Найденная критическая точка $h = 3$ принадлежит заданному отрезку $[1,5; 3,5]$. Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить ее значения в этой критической точке и на концах отрезка.

Вычислим значения объема $V(h)$ в точках $h=1,5$, $h=3$ и $h=3,5$:
При $h = 1,5$: $V(1,5) = \frac{27 \cdot 1,5 - (1,5)^3}{2} = \frac{40,5 - 3,375}{2} = \frac{37,125}{2} = 18,5625$.
При $h = 3$: $V(3) = \frac{27 \cdot 3 - 3^3}{2} = \frac{81 - 27}{2} = \frac{54}{2} = 27$.
При $h = 3,5$: $V(3,5) = \frac{27 \cdot 3,5 - (3,5)^3}{2} = \frac{94,5 - 42,875}{2} = \frac{51,625}{2} = 25,8125$.

Сравнивая полученные значения ($18,5625$, $27$ и $25,8125$), мы заключаем, что наибольший объем $V=27$ достигается при высоте $h=3$.

Теперь найдем сторону основания $a$ для параллелепипеда с максимальным объемом: $a^2 = \frac{27 - h^2}{2} = \frac{27 - 3^2}{2} = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9$. Отсюда $a = \sqrt{9} = 3$.

Следовательно, параллелепипед, имеющий наибольший объем, имеет измерения $3 \times 3 \times 3$, то есть является кубом.

Ответ: Параллелепипед с наибольшим объемом является кубом со стороной ребра, равной 3.