Номер 5.91, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.91, страница 148.

Условие.

5.91 Найдите два положительных числа, сумма которых равна 1, а произведение наибольшее.

Решение 1.

Решение 4.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 1:
$x + y = 1$

Также по условию, эти числа являются положительными:
$x > 0$ и $y > 0$.

Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет наибольшим.

Для решения задачи выразим одну переменную через другую из уравнения суммы. Выразим $y$ через $x$:
$y = 1 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию, зависящую только от одной переменной $x$:
$P(x) = x \cdot (1 - x) = x - x^2$

Задача сводится к нахождению максимального значения функции $P(x) = -x^2 + x$.
Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $1 - x > 0$, откуда следует, что $x < 1$. Таким образом, мы ищем максимум функции на интервале $x \in (0, 1)$.

Функция $P(x) = -x^2 + x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$). Наибольшее значение такая парабола принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $f(x) = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае для функции $P(x) = -x^2 + x$ коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 1$.
Найдем координату $x$ вершины:
$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $x = \frac{1}{2}$ находится в заданном интервале $(0, 1)$, следовательно, оно является решением.
Теперь найдем соответствующее значение для второго числа $y$:
$y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомые числа равны друг другу. Их произведение $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ является максимально возможным.

Ответ: Искомые числа: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$.