Номер 5.84, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.84, страница 145.

Условие.

5.84 a) $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$, $[0; +\infty)$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$, $(-\infty; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$ на промежутке $[0; +\infty)$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом промежутке. Область значений будет отрезком между этими значениями, так как функция непрерывна.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = x^2 - x + 4$ и $v = x^2 + 4$.
$u' = 2x - 1$
$v' = 2x$
$f'(x) = \frac{(2x - 1)(x^2 + 4) - (x^2 - x + 4)(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - x^2 - 4 - (2x^3 - 2x^2 + 8x)}{(x^2 + 4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 + 8x - x^2 - 4 - 2x^3 + 2x^2 - 8x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2} = 0 \implies x^2 - 4 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Исследуем функцию на промежутке $[0; +\infty)$. В данный промежуток попадает только одна критическая точка $x=2$. Вычислим значения функции в этой точке и на границах промежутка.
- На левой границе при $x=0$: $f(0) = \frac{0^2 - 0 + 4}{0^2 + 4} = \frac{4}{4} = 1$.
- В критической точке $x=2$: $f(2) = \frac{2^2 - 2 + 4}{2^2 + 4} = \frac{4 - 2 + 4}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
- Найдем предел функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0} = 1$.

На промежутке $[0, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. На промежутке $(2, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. Значит, в точке $x=2$ функция достигает своего локального минимума. Сравнив вычисленные значения, видим, что наименьшее значение функции на промежутке $[0; +\infty)$ равно $f(2) = \frac{3}{4}$, а наибольшее значение равно $f(0) = 1$.
Таким образом, область значений функции на данном промежутке — это отрезок $[\frac{3}{4}; 1]$.

Ответ: $E(f) = [\frac{3}{4}; 1]$.

б) Теперь найдем область значений функции $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

1. Используем производную и критические точки, найденные в пункте а): $f'(x) = \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2}$, критические точки $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Исследуем функцию на промежутке $(-\infty; 0]$. В данный промежуток попадает только одна критическая точка $x=-2$. Вычислим значения функции в этой точке и на границах промежутка.
- На правой границе при $x=0$: $f(0) = \frac{0^2 - 0 + 4}{0^2 + 4} = \frac{4}{4} = 1$.
- В критической точке $x=-2$: $f(-2) = \frac{(-2)^2 - (-2) + 4}{(-2)^2 + 4} = \frac{4 + 2 + 4}{4 + 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
- Найдем предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0} = 1$.

На промежутке $(-\infty, -2)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. На промежутке $(-2, 0]$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Значит, в точке $x=-2$ функция достигает своего локального максимума. Сравнив вычисленные значения, видим, что наименьшее значение функции на промежутке $(-\infty; 0]$ равно $1$ (достигается при $x=0$ и является пределом при $x \to -\infty$), а наибольшее значение равно $f(-2) = \frac{5}{4}$.
Таким образом, область значений функции на данном промежутке — это отрезок $[1; \frac{5}{4}]$.

Ответ: $E(f) = [1; \frac{5}{4}]$.