Номер 5.86, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.86, страница 145.

Условие.

ИССЛЕДУЕМ (5.86–5.90):

5.86 Для каждого значения a найдите наименьшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[-1; 1]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[-1; 1]$ для каждого действительного значения параметра $a$.

Геометрически значение $|x - a|$ равно расстоянию между точками $x$ и $a$ на числовой прямой. Следовательно, нам нужно найти точку $x_0$ на отрезке $[-1; 1]$, которая находится на наименьшем расстоянии от точки $a$. Это наименьшее расстояние и будет искомым значением.

Рассмотрим три возможных случая расположения точки $a$ относительно отрезка $[-1; 1]$.

1. Точка $a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le a \le 1$.
В этом случае точка $a$ сама является точкой отрезка $[-1; 1]$. Наименьшее расстояние от точки $a$ до множества $[-1; 1]$ достигается в точке $x = a$ и равно нулю.
Алгебраически, функция $f(x) = |x - a|$ достигает своего наименьшего значения на всей числовой прямой в точке $x = a$, и это значение равно $f(a) = |a - a| = 0$. Поскольку при $-1 \le a \le 1$ точка $x = a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то и наименьшее значение функции на этом отрезке равно 0.

2. Точка $a$ находится левее отрезка $[-1; 1]$, то есть $a < -1$.
В этом случае точка $a$ лежит слева от отрезка $[-1; 1]$. Ближайшей к $a$ точкой отрезка $[-1; 1]$ будет его левый конец, то есть точка $x = -1$.
Расстояние между $a$ и $-1$ равно $|-1 - a|$. Так как $a < -1$, то $-a > 1$, и $-1 - a > 0$. Следовательно, $|-1 - a| = -1 - a$.
Алгебраически, при $a < -1$ для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется неравенство $x > a$, а значит $x - a > 0$. Тогда $f(x) = |x - a| = x - a$. Это линейная возрастающая функция. Своё наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ она принимает в левой границе отрезка, то есть при $x = -1$.
Наименьшее значение равно $f(-1) = -1 - a$.

3. Точка $a$ находится правее отрезка $[-1; 1]$, то есть $a > 1$.
В этом случае точка $a$ лежит справа от отрезка $[-1; 1]$. Ближайшей к $a$ точкой отрезка $[-1; 1]$ будет его правый конец, то есть точка $x = 1$.
Расстояние между $a$ и $1$ равно $|1 - a|$. Так как $a > 1$, то $1 - a < 0$. Следовательно, $|1 - a| = -(1 - a) = a - 1$.
Алгебраически, при $a > 1$ для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется неравенство $x < a$, а значит $x - a < 0$. Тогда $f(x) = |x - a| = -(x - a) = a - x$. Это линейная убывающая функция. Своё наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ она принимает в правой границе отрезка, то есть при $x = 1$.
Наименьшее значение равно $f(1) = a - 1$.

Объединяя все случаи, получаем выражение для наименьшего значения функции $m(a)$ в зависимости от параметра $a$:
$m(a) = \begin{cases} -a - 1, & \text{если } a < -1 \\ 0, & \text{если } -1 \le a \le 1 \\ a - 1, & \text{если } a > 1 \end{cases}$

Ответ: Наименьшее значение функции равно:
- $0$, при $-1 \le a \le 1$;
- $a - 1$, при $a > 1$;
- $-a - 1$, при $a < -1$.