Страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.83 a) $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x, [0; \pi]$;

б) $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x, [\pi; 2\pi]$;

В) $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

Г) $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x, [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x + \sin x)' = \frac{1}{2} + \cos x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{2} + \cos x = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$.
На интервале $(0; \pi)$ это уравнение имеет единственное решение $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке $x = \frac{2\pi}{3}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\pi$:
$f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \sin(0) = 0$.
$f(\pi) = \frac{1}{2} \cdot \pi + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения. Используя приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.73$, получаем: $f(0) = 0$.
$f(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3.14}{3} + \frac{1.73}{2} \approx 1.05 + 0.865 = 1.915$.
Наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(0)=0$, наибольшее значение $f(\frac{2\pi}{3})=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x$ на отрезке $[\pi; 2\pi]$.
1. Производная функции та же: $f'(x) = \frac{1}{2} + \cos x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. На интервале $(\pi; 2\pi)$ решением является $x = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(\pi) = \frac{1}{2} \cdot \pi + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2}$.
$f(2\pi) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi + \sin(2\pi) = \pi$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним значения: $f(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$f(2\pi) = \pi \approx 3.14$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} - \frac{1.73}{2} \approx 2.09 - 0.865 = 1.225$.
Наименьшее значение равно $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$, а наибольшее равно $\pi$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{4\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее значение $f(2\pi)=\pi$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{2}x + \cos x)' = -\frac{1}{2} - \sin x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$-\frac{1}{2} - \sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственное решение - это $x = -\frac{\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}) + \cos(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4}$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{6}) + \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения: $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3.14}{12} + \frac{1.73}{2} \approx 0.26 + 0.865 = 1.125$.
Наименьшее значение равно $-\frac{\pi}{4}$, а наибольшее равно $\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}$, наибольшее значение $f(-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
1. Производная функции: $f'(x) = -\frac{1}{2} - \sin x$.
2. Критические точки из уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$. На интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ решением является $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{4}$.
$f(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}(\frac{7\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения, которые все отрицательны:
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$.
$f(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{7 \cdot 3.14}{12} - \frac{1.73}{2} \approx -1.83 - 0.865 = -2.695$.
Наибольшее (наименее отрицательное) значение равно $-\frac{\pi}{4}$. Наименьшее значение равно $-\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{7\pi}{6})=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее значение $f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}$.

5.84 a) $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$, $[0; +\infty)$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$, $(-\infty; 0]$.

а) Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$ на промежутке $[0; +\infty)$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом промежутке. Область значений будет отрезком между этими значениями, так как функция непрерывна.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = x^2 - x + 4$ и $v = x^2 + 4$.
$u' = 2x - 1$
$v' = 2x$
$f'(x) = \frac{(2x - 1)(x^2 + 4) - (x^2 - x + 4)(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - x^2 - 4 - (2x^3 - 2x^2 + 8x)}{(x^2 + 4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 + 8x - x^2 - 4 - 2x^3 + 2x^2 - 8x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2} = 0 \implies x^2 - 4 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Исследуем функцию на промежутке $[0; +\infty)$. В данный промежуток попадает только одна критическая точка $x=2$. Вычислим значения функции в этой точке и на границах промежутка.
- На левой границе при $x=0$: $f(0) = \frac{0^2 - 0 + 4}{0^2 + 4} = \frac{4}{4} = 1$.
- В критической точке $x=2$: $f(2) = \frac{2^2 - 2 + 4}{2^2 + 4} = \frac{4 - 2 + 4}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
- Найдем предел функции при $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0} = 1$.

На промежутке $[0, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. На промежутке $(2, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. Значит, в точке $x=2$ функция достигает своего локального минимума. Сравнив вычисленные значения, видим, что наименьшее значение функции на промежутке $[0; +\infty)$ равно $f(2) = \frac{3}{4}$, а наибольшее значение равно $f(0) = 1$.
Таким образом, область значений функции на данном промежутке — это отрезок $[\frac{3}{4}; 1]$.

Ответ: $E(f) = [\frac{3}{4}; 1]$.

б) Теперь найдем область значений функции $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

1. Используем производную и критические точки, найденные в пункте а): $f'(x) = \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2}$, критические точки $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Исследуем функцию на промежутке $(-\infty; 0]$. В данный промежуток попадает только одна критическая точка $x=-2$. Вычислим значения функции в этой точке и на границах промежутка.
- На правой границе при $x=0$: $f(0) = \frac{0^2 - 0 + 4}{0^2 + 4} = \frac{4}{4} = 1$.
- В критической точке $x=-2$: $f(-2) = \frac{(-2)^2 - (-2) + 4}{(-2)^2 + 4} = \frac{4 + 2 + 4}{4 + 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
- Найдем предел функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0} = 1$.

На промежутке $(-\infty, -2)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. На промежутке $(-2, 0]$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Значит, в точке $x=-2$ функция достигает своего локального максимума. Сравнив вычисленные значения, видим, что наименьшее значение функции на промежутке $(-\infty; 0]$ равно $1$ (достигается при $x=0$ и является пределом при $x \to -\infty$), а наибольшее значение равно $f(-2) = \frac{5}{4}$.
Таким образом, область значений функции на данном промежутке — это отрезок $[1; \frac{5}{4}]$.

Ответ: $E(f) = [1; \frac{5}{4}]$.

5.85 a) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$, $[0; +\infty)$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$, $(-\infty; 0]$.

a) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$ на промежутке $[0; +\infty)$, необходимо провести исследование функции.
1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x - 5)(x^2 + 1) - (x^2 - 5x + 6)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 5x^2 - 5 - (2x^3 - 10x^2 + 12x)}{(x^2 + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 2x - 5 - 2x^3 + 10x^2 - 12x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{5x^2 - 10x - 5}{(x^2 + 1)^2} = \frac{5(x^2 - 2x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 5(x^2 - 2x - 1) = 0 \implies x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$.
Корни уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Получаем две критические точки: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.
3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; +\infty)$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$, эта точка не принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.
$x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$, эта точка принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.
4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на границах промежутка.
Значение на левой границе $x=0$:
$f(0) = \frac{0^2 - 5(0) + 6}{0^2 + 1} = 6$.
Значение в критической точке $x_2 = 1 + \sqrt{2}$:
$f(1 + \sqrt{2}) = \frac{(1+\sqrt{2})^2 - 5(1+\sqrt{2}) + 6}{(1+\sqrt{2})^2 + 1} = \frac{1+2\sqrt{2}+2 - 5-5\sqrt{2}+6}{1+2\sqrt{2}+2+1} = \frac{4-3\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{4-3\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{2})$:
$f(1+\sqrt{2}) = \frac{(4-3\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{8-4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+6}{2(4-2)} = \frac{14-10\sqrt{2}}{4} = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$.
Исследуем поведение функции на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$.
5. Сравним полученные значения: $f(0)=6$, $f(1+\sqrt{2})=\frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$ и предел на бесконечности, равный 1.
Так как $7 = \sqrt{49}$ и $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, то $7 - 5\sqrt{2} < 0$, следовательно, $f(1+\sqrt{2})$ — отрицательное число.
Значение $f(0)=6$ является наибольшим. Значение $f(1+\sqrt{2})=\frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$ является наименьшим.
Ответ: наибольшее значение функции равно $6$, наименьшее значение функции равно $\frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$ на промежутке $(-\infty; 0]$.
1. Производная и критические точки найдены в пункте а): $f'(x) = \frac{5(x^2 - 2x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$, критические точки $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.
2. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 0]$.
$x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$, эта точка принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
$x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$, эта точка не принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
3. Вычислим значения функции в критической точке $x_1$ и на границе промежутка.
Значение на правой границе $x=0$:
$f(0) = \frac{0^2 - 5(0) + 6}{0^2 + 1} = 6$.
Значение в критической точке $x_1 = 1 - \sqrt{2}$:
$f(1 - \sqrt{2}) = \frac{(1-\sqrt{2})^2 - 5(1-\sqrt{2}) + 6}{(1-\sqrt{2})^2 + 1} = \frac{1-2\sqrt{2}+2 - 5+5\sqrt{2}+6}{1-2\sqrt{2}+2+1} = \frac{4+3\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} = \frac{4+3\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:
$f(1-\sqrt{2}) = \frac{(4+3\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{8+4\sqrt{2}+6\sqrt{2}+6}{2(4-2)} = \frac{14+10\sqrt{2}}{4} = \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$.
Исследуем поведение функции на бесконечности:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$.
4. Сравним полученные значения: $f(0)=6$, $f(1-\sqrt{2})=\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$ и предел на бесконечности, равный 1.
Приблизительное значение $f(1-\sqrt{2}) = \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{7 + 5 \cdot 1.414}{2} = \frac{14.07}{2} \approx 7.035$.
Это значение является наибольшим.
Что касается наименьшего значения, функция стремится к 1 при $x \to -\infty$, но никогда не достигает этого значения. На промежутке $(-\infty, 1-\sqrt{2})$ функция возрастает от 1 до $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[1-\sqrt{2}, 0]$ функция убывает от $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$ до 6. Таким образом, множество значений функции на $(-\infty; 0]$ есть $(1, \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}]$. Наименьшее значение не достигается.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$, наименьшее значение не существует.

ИССЛЕДУЕМ (5.86–5.90):

5.86 Для каждого значения a найдите наименьшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[-1; 1]$.

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[-1; 1]$ для каждого действительного значения параметра $a$.

Геометрически значение $|x - a|$ равно расстоянию между точками $x$ и $a$ на числовой прямой. Следовательно, нам нужно найти точку $x_0$ на отрезке $[-1; 1]$, которая находится на наименьшем расстоянии от точки $a$. Это наименьшее расстояние и будет искомым значением.

Рассмотрим три возможных случая расположения точки $a$ относительно отрезка $[-1; 1]$.

1. Точка $a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le a \le 1$.
В этом случае точка $a$ сама является точкой отрезка $[-1; 1]$. Наименьшее расстояние от точки $a$ до множества $[-1; 1]$ достигается в точке $x = a$ и равно нулю.
Алгебраически, функция $f(x) = |x - a|$ достигает своего наименьшего значения на всей числовой прямой в точке $x = a$, и это значение равно $f(a) = |a - a| = 0$. Поскольку при $-1 \le a \le 1$ точка $x = a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то и наименьшее значение функции на этом отрезке равно 0.

2. Точка $a$ находится левее отрезка $[-1; 1]$, то есть $a < -1$.
В этом случае точка $a$ лежит слева от отрезка $[-1; 1]$. Ближайшей к $a$ точкой отрезка $[-1; 1]$ будет его левый конец, то есть точка $x = -1$.
Расстояние между $a$ и $-1$ равно $|-1 - a|$. Так как $a < -1$, то $-a > 1$, и $-1 - a > 0$. Следовательно, $|-1 - a| = -1 - a$.
Алгебраически, при $a < -1$ для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется неравенство $x > a$, а значит $x - a > 0$. Тогда $f(x) = |x - a| = x - a$. Это линейная возрастающая функция. Своё наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ она принимает в левой границе отрезка, то есть при $x = -1$.
Наименьшее значение равно $f(-1) = -1 - a$.

3. Точка $a$ находится правее отрезка $[-1; 1]$, то есть $a > 1$.
В этом случае точка $a$ лежит справа от отрезка $[-1; 1]$. Ближайшей к $a$ точкой отрезка $[-1; 1]$ будет его правый конец, то есть точка $x = 1$.
Расстояние между $a$ и $1$ равно $|1 - a|$. Так как $a > 1$, то $1 - a < 0$. Следовательно, $|1 - a| = -(1 - a) = a - 1$.
Алгебраически, при $a > 1$ для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется неравенство $x < a$, а значит $x - a < 0$. Тогда $f(x) = |x - a| = -(x - a) = a - x$. Это линейная убывающая функция. Своё наименьшее значение на отрезке $[-1; 1]$ она принимает в правой границе отрезка, то есть при $x = 1$.
Наименьшее значение равно $f(1) = a - 1$.

Объединяя все случаи, получаем выражение для наименьшего значения функции $m(a)$ в зависимости от параметра $a$:
$m(a) = \begin{cases} -a - 1, & \text{если } a < -1 \\ 0, & \text{если } -1 \le a \le 1 \\ a - 1, & \text{если } a > 1 \end{cases}$

Ответ: Наименьшее значение функции равно:
- $0$, при $-1 \le a \le 1$;
- $a - 1$, при $a > 1$;
- $-a - 1$, при $a < -1$.

5.87 Для каждого значения $a$ найдите наибольшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[-1; 1]$.

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $x \in [-1; 1]$ для каждого действительного значения параметра $a$.

Функция $f(x) = |x - a|$ является непрерывной на всей числовой оси. Её график представляет собой V-образную кривую с вершиной (точкой минимума) в точке $x=a$. Функция убывает при $x < a$ и возрастает при $x > a$.

Согласно свойству непрерывных функций, наибольшее значение на замкнутом отрезке достигается либо в точках локального максимума, либо на концах отрезка. У функции $f(x)$ нет точек локального максимума (только точка глобального минимума при $x=a$). Следовательно, наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться на одном из его концов: в точке $x = -1$ или в точке $x = 1$.

Вычислим значения функции в этих точках: $f(-1) = |-1 - a| = |a + 1|$ и $f(1) = |1 - a|$. Таким образом, задача сводится к нахождению максимального из этих двух значений: $M(a) = \max(|a + 1|, |1 - a|)$.

Для того чтобы найти это значение, рассмотрим два случая в зависимости от знака параметра $a$. Геометрически, мы ищем, какой из концов отрезка, $-1$ или $1$, находится дальше от точки $a$.

Рассмотрим первый случай: $a \ge 0$. В этом случае точка $a$ расположена правее или совпадает с серединой отрезка $[-1; 1]$ (точкой 0). Тогда точка $-1$ удалена от $a$ не меньше, чем точка $1$. Математически, $|a - (-1)| \ge |a - 1|$, то есть $|a+1| \ge |1-a|$. Следовательно, наибольшее значение равно $M(a) = |a+1|$. Поскольку $a \ge 0$, то $a+1 > 0$, и поэтому $|a+1| = a+1$. Итак, при $a \ge 0$, наибольшее значение функции равно $a+1$.

Рассмотрим второй случай: $a < 0$. В этом случае точка $a$ расположена левее середины отрезка. Тогда точка $1$ удалена от $a$ дальше, чем точка $-1$. Математически, $|a - 1| > |a - (-1)|$, то есть $|1-a| > |a+1|$. Следовательно, наибольшее значение равно $M(a) = |1-a|$. Поскольку $a < 0$, то $1-a > 1$, и поэтому $|1-a| = 1-a$. Итак, при $a < 0$, наибольшее значение функции равно $1-a$.

Объединяя оба случая, мы получаем итоговую зависимость наибольшего значения $M(a)$ от параметра $a$:$ M(a) = \begin{cases} 1+a, & \text{если } a \ge 0 \\ 1-a, & \text{если } a < 0 \end{cases} $Данное выражение можно записать в более компактной форме с помощью модуля: $M(a) = 1 + |a|$.

Ответ: Наибольшее значение функции $f(x)=|x-a|$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $1+a$ при $a \ge 0$, и $1-a$ при $a < 0$. Эту зависимость можно выразить единой формулой: $1+|a|$.

5.88 Для каждого значения b найдите:

а) наименьшее значение функции $f(x) = (x - b)^2$ на отрезке $[-1; 1];$

б) наибольшее значение функции $f(x) = (x - b)^2$ на отрезке $[-1; 1].$

Данная функция $f(x) = (x-b)^2$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой $x=b$, и значение функции в этой точке равно $f(b) = (b-b)^2=0$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений на отрезке $[-1; 1]$ необходимо проанализировать положение вершины параболы ($x=b$) относительно этого отрезка.

Поскольку $f(x) = (x-b)^2 \ge 0$ для всех $x$, наименьшее значение функции, равное 0, достигается в ее вершине, то есть при $x=b$. Решение зависит от положения этой вершины относительно отрезка $[-1; 1]$.

1. Если вершина параболы принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le b \le 1$, то наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=b$ и равно $f(b) = 0$.

2. Если вершина параболы находится левее отрезка, то есть $b < -1$, то на всём отрезке $[-1; 1]$ функция $f(x)$ монотонно возрастает. Следовательно, её наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке $x=-1$. Это значение равно $f(-1) = (-1-b)^2 = (b+1)^2$.

3. Если вершина параболы находится правее отрезка, то есть $b > 1$, то на всём отрезке $[-1; 1]$ функция $f(x)$ монотонно убывает. Следовательно, её наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x=1$. Это значение равно $f(1) = (1-b)^2$.

Ответ: если $b < -1$, то наименьшее значение равно $(b+1)^2$; если $-1 \le b \le 1$, то наименьшее значение равно 0; если $b > 1$, то наименьшее значение равно $(1-b)^2$.

Наибольшее значение функции, график которой — парабола с ветвями вверх, на замкнутом отрезке всегда достигается на одном из его концов. Поэтому необходимо сравнить значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.

Значения на концах отрезка:
$f(-1) = (-1-b)^2 = (b+1)^2$
$f(1) = (1-b)^2$

Наибольшим будет значение на том конце отрезка, который наиболее удален от вершины $x=b$. Сравним значения $f(-1)$ и $f(1)$, чтобы определить, какое из них больше. Найдем, при каких значениях $b$ выполняется неравенство $f(-1) \ge f(1)$:
$(b+1)^2 \ge (1-b)^2$
$b^2 + 2b + 1 \ge b^2 - 2b + 1$
$4b \ge 0$
$b \ge 0$

Таким образом, если $b \ge 0$, то $f(-1) \ge f(1)$, и наибольшее значение равно $f(-1)=(b+1)^2$. Если же $b < 0$, то $f(1) > f(-1)$, и наибольшее значение равно $f(1)=(1-b)^2$.

Ответ: если $b < 0$, то наибольшее значение равно $(1-b)^2$; если $b \ge 0$, то наибольшее значение равно $(b+1)^2$.

5.89* Для каждого положительного значения b найдите наибольшее значение функции $f(x) = \frac{x+b}{\sqrt{x^2+1}}$ на отрезке [1; 2].

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{x + b}{\sqrt{x^2 + 1}}$ на отрезке $[1; 2]$ при заданном положительном параметре $b$, мы исследуем функцию на экстремумы внутри отрезка и сравним их со значениями на концах отрезка.

1. Нахождение производной и критических точек

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$ с помощью правила дифференцирования частного $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$.

Пусть $u(x) = x+b$ и $v(x) = \sqrt{x^2+1}$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (x+b) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{(x^2+1) - x(x+b)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1 - x^2 - bx}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{1-bx}{(x^2+1)^{3/2}}$

Критические точки находятся там, где производная равна нулю. Так как знаменатель $(x^2+1)^{3/2}$ всегда положителен, приравняем к нулю числитель:

$1 - bx = 0 \implies bx = 1 \implies x_0 = \frac{1}{b}$

Знак производной зависит от знака выражения $1-bx$. Если $x < 1/b$, то $f'(x)>0$ (функция возрастает), а если $x > 1/b$, то $f'(x)<0$ (функция убывает). Это означает, что $x_0 = 1/b$ является точкой локального максимума.

2. Анализ положения критической точки относительно отрезка $[1; 2]$

Наибольшее значение функции на отрезке зависит от того, попадает ли точка максимума $x_0 = 1/b$ в этот отрезок. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $x_0 < 1$ (критическая точка левее отрезка)

Это условие выполняется, когда $\frac{1}{b} < 1$, что для $b>0$ эквивалентно $b > 1$.
На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется неравенство $x > 1/b$, следовательно, производная $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ монотонно убывает на $[1; 2]$.
Наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке $x=1$:
$\max_{x \in [1;2]} f(x) = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{1^2+1}} = \frac{1+b}{\sqrt{2}}$

Случай 2: $x_0 > 2$ (критическая точка правее отрезка)

Это условие выполняется, когда $\frac{1}{b} > 2$, что для $b>0$ эквивалентно $0 < b < 1/2$.
На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется неравенство $x < 1/b$, следовательно, производная $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ монотонно возрастает на $[1; 2]$.
Наибольшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x=2$:
$\max_{x \in [1;2]} f(x) = f(2) = \frac{2+b}{\sqrt{2^2+1}} = \frac{2+b}{\sqrt{5}}$

Случай 3: $1 \le x_0 \le 2$ (критическая точка внутри или на границе отрезка)

Это условие выполняется, когда $1 \le \frac{1}{b} \le 2$. Решая это двойное неравенство для $b>0$, получаем $\frac{1}{2} \le b \le 1$.
Поскольку точка максимума находится на отрезке $[1; 2]$, наибольшее значение функция принимает именно в этой точке $x_0 = 1/b$:
$\max_{x \in [1;2]} f(x) = f\left(\frac{1}{b}\right) = \frac{\frac{1}{b}+b}{\sqrt{(\frac{1}{b})^2+1}} = \frac{\frac{1+b^2}{b}}{\sqrt{\frac{1+b^2}{b^2}}} = \frac{\frac{1+b^2}{b}}{\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}} = \sqrt{1+b^2}$

Итог

Объединяя все случаи, получаем зависимость наибольшего значения функции $M(b)$ от параметра $b$. Проверим значения на границах интервалов:
При $b=1/2$, случай 2 дает $\frac{2+1/2}{\sqrt{5}}=\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Случай 3 дает $\sqrt{1+(1/2)^2}=\sqrt{5/4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Значения совпадают.
При $b=1$, случай 1 дает $\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Случай 3 дает $\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$. Значения совпадают.

Таким образом, мы можем записать итоговый результат.

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ в зависимости от значения $b > 0$ равно:$\max_{x \in [1;2]} f(x) =\begin{cases}\frac{2+b}{\sqrt{5}}, & \text{если } 0 < b \le \frac{1}{2} \\\sqrt{1+b^2}, & \text{если } \frac{1}{2} < b < 1 \\\frac{1+b}{\sqrt{2}}, & \text{если } b \ge 1\end{cases}$

5.90* Для каждого отрицательного значения $b$ найдите наименьшее значение функции $f(x) = \frac{b - x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ на отрезке $[1; 2]$.

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = \frac{b - x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ на отрезке $[1; 2]$ при отрицательных значениях параметра $b$, необходимо исследовать поведение функции на этом отрезке. Наименьшее значение непрерывной функции на замкнутом интервале достигается либо на концах отрезка, либо в точках локального минимума внутри отрезка.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = b - x$ и $v = \sqrt{x^2 + 1}$.

Производные $u'$ и $v'$ равны:

$u' = -1$

$v' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(-1)\sqrt{x^2 + 1} - (b - x)\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{-(x^2 + 1) - x(b - x)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{-x^2 - 1 - bx + x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-bx - 1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

2. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$f'(x) = 0 \implies -bx - 1 = 0 \implies bx = -1$

Поскольку по условию $b < 0$, мы можем разделить на $b$. Критическая точка $x_0$ равна:

$x_0 = -\frac{1}{b}$

Так как $b < 0$, то $x_0 > 0$.

3. Определим характер критической точки.

Проанализируем знак производной $f'(x) = \frac{-bx - 1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$. Знаменатель всегда положителен. Знак производной определяется знаком числителя $-bx - 1$.

Поскольку $b < 0$, коэффициент $-b$ положителен. Таким образом, $-bx - 1$ является возрастающей линейной функцией от $x$.

• При $x < x_0 = -1/b$, имеем $-bx < 1$, так что $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ убывает.
• При $x > x_0 = -1/b$, имеем $-bx > 1$, так что $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ возрастает.

Следовательно, точка $x_0 = -1/b$ является точкой локального минимума.

4. Рассмотрим расположение критической точки относительно отрезка $[1; 2]$.

Возможны три случая в зависимости от значения параметра $b < 0$.

Случай 1: Критическая точка находится внутри отрезка, т.е. $1 \le x_0 \le 2$.

$1 \le -\frac{1}{b} \le 2$

Так как $b < 0$, при умножении на $b$ знаки неравенств меняются:

$b \ge -1$ и $-1 \ge 2b \implies b \le -1/2$.

Таким образом, этот случай соответствует $b \in [-1; -1/2]$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ достигается в точке локального минимума $x_0 = -1/b$.

Вычислим это значение:

$f(x_0) = f(-1/b) = \frac{b - (-1/b)}{\sqrt{(-1/b)^2 + 1}} = \frac{b + 1/b}{\sqrt{1/b^2 + 1}} = \frac{\frac{b^2+1}{b}}{\sqrt{\frac{1+b^2}{b^2}}} = \frac{\frac{b^2+1}{b}}{\frac{\sqrt{b^2+1}}{|b|}}$

Поскольку $b < 0$, $|b| = -b$.

$f(x_0) = \frac{b^2+1}{b} \cdot \frac{-b}{\sqrt{b^2+1}} = -\sqrt{b^2+1}$.

Случай 2: Критическая точка находится левее отрезка, т.е. $x_0 < 1$.

$-\frac{1}{b} < 1 \implies -1 > b$ (умножили на $b < 0$).

Этот случай соответствует $b < -1$.

На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется условие $x > x_0$, следовательно, производная $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ возрастает на $[1; 2]$. Наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, в точке $x=1$.

Наименьшее значение: $f(1) = \frac{b - 1}{\sqrt{1^2 + 1}} = \frac{b - 1}{\sqrt{2}}$.

Случай 3: Критическая точка находится правее отрезка, т.е. $x_0 > 2$.

$-\frac{1}{b} > 2 \implies -1 < 2b$ (умножили на $b < 0$).

$b > -1/2$.

С учетом условия $b < 0$, этот случай соответствует $b \in (-1/2; 0)$.

На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется условие $x < x_0$, следовательно, производная $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ убывает на $[1; 2]$. Наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, в точке $x=2$.

Наименьшее значение: $f(2) = \frac{b - 2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{b - 2}{\sqrt{5}}$.

Итог:

Объединим полученные результаты. Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[1; 2]$ в зависимости от $b < 0$ равно:

• $\frac{b-1}{\sqrt{2}}$, если $b < -1$;
• $-\sqrt{b^2+1}$, если $-1 \le b \le -1/2$;
• $\frac{b-2}{\sqrt{5}}$, если $-1/2 < b < 0$.

Ответ: Наименьшее значение функции $f_{min}$ равно:$f_{min} = \begin{cases} \frac{b-1}{\sqrt{2}}, & \text{если } b < -1 \\ -\sqrt{b^2+1}, & \text{если } -1 \le b \le -1/2 \\ \frac{b-2}{\sqrt{5}}, & \text{если } -1/2 < b < 0 \end{cases}$