Страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.72° В каком случае график функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют:

а) выпуклым вниз;

б) выпуклым вверх?

а)

График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вниз (также говорят «вогнутым»), если он расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале. Это означает, что для любой точки $x_0 \in (a; b)$ касательная, проведенная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$, лежит под графиком функции.

Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a; b)$, то это условие эквивалентно тому, что ее вторая производная неотрицательна на этом интервале. Математически это выражается неравенством:

$f''(x) \ge 0$ для всех $x \in (a; b)$.

Геометрически такая кривая изгибается вверх, напоминая по форме чашу.

Ответ: График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вниз, если он расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале, что для дважды дифференцируемой функции соответствует условию $f''(x) \ge 0$.

б)

График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вверх (также говорят «выпуклым»), если он расположен не выше любой своей касательной на этом интервале. Это означает, что для любой точки $x_0 \in (a; b)$ касательная, проведенная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$, лежит над графиком функции.

Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a; b)$, то это условие эквивалентно тому, что ее вторая производная неположительна на этом интервале. Математически это выражается неравенством:

$f''(x) \le 0$ для всех $x \in (a; b)$.

Геометрически такая кривая изгибается вниз, напоминая по форме холм или купол.

Ответ: График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вверх, если он расположен не выше любой своей касательной на этом интервале, что для дважды дифференцируемой функции соответствует условию $f''(x) \le 0$.

5.73° Объясните, как по знаку второй производной функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ определить выпуклость вверх (вниз) графика этой функции на интервале $(a; b)$.

Для определения направления выпуклости графика функции $y = f(x)$, которая является дважды дифференцируемой на интервале $(a; b)$, используется знак ее второй производной $f''(x)$. Существует прямая связь между знаком второй производной и формой графика функции на данном интервале.

Выпуклость вверх

График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вверх (или вогнутым) на интервале $(a; b)$, если он на всем этом интервале расположен не выше любой своей касательной (за исключением точки касания). Геометрически это означает, что кривая изгибается в направлении отрицательной части оси $Oy$, образуя форму, похожую на арку (∩).

Правило для определения выпуклости вверх следующее: если вторая производная функции отрицательна для всех значений $x$ из интервала $(a; b)$, то есть $f''(x) < 0$ при $x \in (a; b)$, то график функции на этом интервале является выпуклым вверх.

Это объясняется тем, что отрицательность второй производной $f''(x)$ означает, что первая производная $f'(x)$ (которая характеризует угловой коэффициент касательной к графику) является убывающей функцией. По мере увеличения $x$ наклон касательной уменьшается, то есть касательная поворачивается по часовой стрелке, что и приводит к изгибу графика вверх.

Ответ: Если для всех $x \in (a; b)$ выполняется условие $f''(x) < 0$, то график функции $y=f(x)$ на интервале $(a; b)$ выпуклый вверх.

Выпуклость вниз

График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вниз (или просто выпуклым) на интервале $(a; b)$, если он на всем этом интервале расположен не ниже любой своей касательной (за исключением точки касания). Геометрически это означает, что кривая изгибается в направлении положительной части оси $Oy$, образуя форму, похожую на чашу (∪).

Правило для определения выпуклости вниз следующее: если вторая производная функции положительна для всех значений $x$ из интервала $(a; b)$, то есть $f''(x) > 0$ при $x \in (a; b)$, то график функции на этом интервале является выпуклым вниз.

Это объясняется тем, что положительность второй производной $f''(x)$ означает, что первая производная $f'(x)$ является возрастающей функцией. По мере увеличения $x$ наклон касательной увеличивается, то есть касательная поворачивается против часовой стрелки, что и приводит к изгибу графика вниз.

Ответ: Если для всех $x \in (a; b)$ выполняется условие $f''(x) > 0$, то график функции $y=f(x)$ на интервале $(a; b)$ выпуклый вниз.

5.74° Объясните, как по знаку второй производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, в которой $f'(x_0) = 0$, определить вид локального экстремума этой функции в точке $x_0$.

Для определения вида локального экстремума функции $y = f(x)$ в стационарной точке $x_0$ (то есть в точке, где первая производная равна нулю, $f'(x_0) = 0$), используется так называемый второй достаточный признак (или тест) локального экстремума. Этот метод основан на анализе знака второй производной функции в данной точке.

Предполагается, что функция $f(x)$ является дважды дифференцируемой в некоторой окрестности точки $x_0$ и её вторая производная $f''(x)$ непрерывна в самой точке $x_0$. Алгоритм определения вида экстремума следующий:

1. Находится вторая производная функции, $f''(x)$.
2. Вычисляется значение второй производной в стационарной точке $x_0$, то есть находится $f''(x_0)$.
3. Анализируется знак полученного значения $f''(x_0)$:
   • Если $f''(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум.
     Объяснение: Положительный знак второй производной означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым вниз (вогнутым). Так как в этой точке касательная к графику горизонтальна ($f'(x_0) = 0$), то точка $x_0$ является точкой локального минимума. Иными словами, вторая производная $f''(x)$ показывает скорость изменения первой производной $f'(x)$. Если $f''(x_0) > 0$, то первая производная $f'(x)$ возрастает в точке $x_0$. Поскольку $f'(x_0) = 0$, это означает, что при переходе через точку $x_0$ знак $f'(x)$ меняется с «-» на «+», что является признаком точки минимума.
   • Если $f''(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум.
     Объяснение: Отрицательный знак второй производной означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым вверх (выпуклым). При наличии горизонтальной касательной ($f'(x_0) = 0$) это соответствует точке локального максимума. Аналогично, если $f''(x_0) < 0$, то первая производная $f'(x)$ убывает в точке $x_0$. Следовательно, при переходе через точку $x_0$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «-», что является признаком точки максимума.
   • Если $f''(x_0) = 0$, то данный тест не позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. В этой ситуации точка $x_0$ может быть как точкой экстремума, так и точкой перегиба. Для выяснения характера точки $x_0$ необходимо провести дополнительное исследование (например, проанализировать знаки первой производной слева и справа от $x_0$ или исследовать производные более высоких порядков).

Таким образом, знак второй производной в стационарной точке, если он отличен от нуля, напрямую указывает на вид локального экстремума (направление выпуклости графика в этой точке).

Ответ: Если в точке $x_0$, для которой выполнено условие $f'(x_0)=0$, вторая производная $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Если $f''(x_0) = 0$, то на основании второй производной вывод о характере точки $x_0$ сделать нельзя.

5.75° Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика функции $y=f(x)$? Как найти точку перегиба графика функции $y=f(x)$?

Какую точку называют точкой перегиба кривой — графика функции y = f(x)?

Точкой перегиба графика функции $y = f(x)$ называют точку $(x_0, f(x_0))$, которая отделяет участок выпуклости графика от участка вогнутости. Для того чтобы точка была точкой перегиба, функция $f(x)$ должна быть непрерывной в этой точке, и в ней должна существовать касательная к графику функции.

Геометрически это означает, что в точке перегиба кривая переходит с одной стороны своей касательной на другую. Направление выпуклости графика функции связано со знаком её второй производной $f''(x)$:

• Если на интервале $(a, b)$ выполнено условие $f''(x) > 0$, то график функции на этом интервале является вогнутым (или выпуклым вниз).
• Если на интервале $(a, b)$ выполнено условие $f''(x) < 0$, то график функции на этом интервале является выпуклым (или выпуклым вверх).

Таким образом, точка перегиба — это точка, при переходе через которую вторая производная $f''(x)$ меняет свой знак. В самой точке перегиба вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Ответ: Точкой перегиба графика функции называют точку, в которой происходит смена направления выпуклости кривой (с выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот) и существует касательная.

Как найти точку перегиба графика функции y = f(x)?

Нахождение точек перегиба графика функции проводится с помощью исследования знака второй производной. Для этого используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции $f(x)$.
2. Найти первую производную $f'(x)$, а затем вторую производную $f''(x)$.
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода и являются «подозреваемыми» на перегиб. Пусть это будут точки $x_1, x_2, \ldots, x_n$.
4. Определить знаки второй производной $f''(x)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции.
5. Проверить, меняется ли знак $f''(x)$ при переходе через каждую критическую точку. Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ непрерывна и ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак при переходе через $x_0$, то $x_0$ — абсцисса точки перегиба.
6. Вычислить ординаты точек перегиба, подставив найденные абсциссы $x_0$ в исходное уравнение функции: $y_0 = f(x_0)$.
7. Записать координаты точки (или точек) перегиба в виде $(x_0, y_0)$.

Это является достаточным условием для существования точки перегиба. Необходимое условие заключается в том, что если в точке $x_0$ существует непрерывная вторая производная и $x_0$ — точка перегиба, то $f''(x_0) = 0$.

Ответ: Для нахождения точек перегиба необходимо: 1) найти вторую производную функции $f''(x)$; 2) найти точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует; 3) проверить смену знака второй производной при переходе через эти точки; 4) если знак меняется, вычислить координаты точки $(x_0, f(x_0))$, которая и будет точкой перегиба.

5.76 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки перегиба (если они есть) графика функции $y = f(x)$, если:

а) $f(x) = x^3 + 3x^2$;

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 4$;

в) $f(x) = -2x^3 + 3x^2$;

г) $f(x) = -4x^3 - 6x^2 + 7x$;

д) $f(x) = 5^x$;

е) $f(x) = (0,5)^x$;

ж) $f(x) = \log_2 x$;

з) $f(x) = \log_{0,7} x$;

и) $f(x) = \sin x$;

к) $f(x) = \cos x$;

л) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

м) $f(x) = \operatorname{ctg} x$.

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции необходимо исследовать знак ее второй производной $f''(x)$. Если на некотором интервале $f''(x) > 0$, то на этом интервале функция выпукла вниз (вогнута). Если $f''(x) < 0$, то функция выпукла вверх (выпукла). Точка, в которой вторая производная меняет знак (и функция непрерывна), является точкой перегиба.

а) $f(x) = x^3 + 3x^2$

1. Находим первую и вторую производные:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$
$f''(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
$f''(x) = 0 \implies 6x + 6 = 0 \implies x = -1$.

3. Определяем знаки второй производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
При $x < -1$, $f''(x) < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
При $x > -1$, $f''(x) > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.

4. В точке $x = -1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2$.
Точка перегиба: $(-1, 2)$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty; -1)$, выпуклый вниз на промежутке $(-1; +\infty)$; точка перегиба $(-1; 2)$.

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 4$

1. Находим производные:
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$
$f''(x) = 6x - 6$

2. $f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < 1$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
При $x > 1$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. $x = 1$ — точка перегиба.
$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) - 4 = 1 - 3 + 5 - 4 = -1$.
Точка перегиба: $(1, -1)$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на $(-\infty; 1)$, выпуклый вниз на $(1; +\infty)$; точка перегиба $(1; -1)$.

в) $f(x) = -2x^3 + 3x^2$

1. Находим производные:
$f'(x) = -6x^2 + 6x$
$f''(x) = -12x + 6$

2. $f''(x) = 0 \implies -12x + 6 = 0 \implies x = 1/2$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < 1/2$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
При $x > 1/2$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

4. $x = 1/2$ — точка перегиба.
$f(1/2) = -2(1/2)^3 + 3(1/2)^2 = -2(1/8) + 3(1/4) = -1/4 + 3/4 = 1/2$.
Точка перегиба: $(1/2, 1/2)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; 1/2)$, выпуклый вверх на $(1/2; +\infty)$; точка перегиба $(1/2; 1/2)$.

г) $f(x) = -4x^3 - 6x^2 + 7x$

1. Находим производные:
$f'(x) = -12x^2 - 12x + 7$
$f''(x) = -24x - 12$

2. $f''(x) = 0 \implies -24x - 12 = 0 \implies x = -1/2$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < -1/2$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
При $x > -1/2$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

4. $x = -1/2$ — точка перегиба.
$f(-1/2) = -4(-1/2)^3 - 6(-1/2)^2 + 7(-1/2) = -4(-1/8) - 6(1/4) - 7/2 = 1/2 - 3/2 - 7/2 = -9/2$.
Точка перегиба: $(-1/2, -9/2)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; -1/2)$, выпуклый вверх на $(-1/2; +\infty)$; точка перегиба $(-1/2; -9/2)$.

д) $f(x) = 5^x$

1. Находим производные:
$f'(x) = 5^x \ln 5$
$f''(x) = 5^x (\ln 5)^2$

2. Поскольку $5^x > 0$ и $(\ln 5)^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой, точек перегиба нет.

е) $f(x) = (0,5)^x$

1. Находим производные:
$f'(x) = (0,5)^x \ln(0,5)$
$f''(x) = (0,5)^x (\ln(0,5))^2$

2. Поскольку $(0,5)^x > 0$ и $(\ln(0,5))^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой, точек перегиба нет.

ж) $f(x) = \log_2 x$

1. Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Находим производные:
$f(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2}$

3. Для $x > 0$, $x^2 > 0$ и $\ln 2 > 0$, следовательно $f''(x) < 0$ на всей области определения.
Ответ: график функции выпуклый вверх на всем промежутке $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

з) $f(x) = \log_{0,7} x$

1. Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Находим производные:
$f(x) = \frac{\ln x}{\ln 0,7}$
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 0,7}$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 0,7}$

3. Для $x > 0$, $x^2 > 0$. Поскольку $0 < 0,7 < 1$, то $\ln 0,7 < 0$. Значит, знаменатель $x^2 \ln 0,7$ отрицательный, и $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 0,7} > 0$ на всей области определения.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всем промежутке $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

и) $f(x) = \sin x$

1. Находим производные:
$f'(x) = \cos x$
$f''(x) = -\sin x$

2. $f''(x) = 0 \implies -\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, $\sin x > 0$, поэтому $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $\sin x < 0$, поэтому $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. В точках $x = \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\pi n) = \sin(\pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

к) $f(x) = \cos x$

1. Находим производные:
$f'(x) = -\sin x$
$f''(x) = -\cos x$

2. $f''(x) = 0 \implies -\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $\cos x > 0$, поэтому $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $\cos x < 0$, поэтому $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

л) $f(x) = \operatorname{tg} x$

1. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производные:
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

3. $f''(x) = 0 \implies 2\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

5. В точках $x = \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\pi n) = \operatorname{tg}(\pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

м) $f(x) = \operatorname{ctg} x$

1. Область определения: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производные:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\cos x}{\sin^3 x}$

3. $f''(x) = 0 \implies 2\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

5. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, выпуклый вверх на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

5.77 Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная функции $y = f(x)$ равна нулю, то эта точка является точкой перегиба графика функции $y = f(x)$?

Нет, данное утверждение неверно.

Равенство второй производной нулю в некоторой точке является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы эта точка была точкой перегиба.

Точка перегиба – это точка на графике функции, в которой меняется направление выпуклости (с выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот). Для того чтобы точка $x_0$ была точкой перегиба, необходимо, чтобы вторая производная $f''(x)$ в этой точке была равна нулю (или не существовала) и, что самое главное, меняла свой знак при переходе через эту точку.

Рассмотрим контрпример: функцию $y = f(x) = x^4$.

1. Найдем первую и вторую производные этой функции:
Первая производная: $f'(x) = (x^4)' = 4x^3$.
Вторая производная: $f''(x) = (4x^3)' = 12x^2$.

2. Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю:
$f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 0 \implies x = 0$.

3. Исследуем знак второй производной в окрестности точки $x = 0$:
При $x < 0$, например, $x = -1$, имеем $f''(-1) = 12(-1)^2 = 12 > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 0)$ график функции выпуклый вниз (вогнутый).
При $x > 0$, например, $x = 1$, имеем $f''(1) = 12(1)^2 = 12 > 0$. Следовательно, на интервале $(0, \infty)$ график функции также выпуклый вниз (вогнутый).

Поскольку при переходе через точку $x = 0$ вторая производная не меняет свой знак ($f''(x) \ge 0$ для всех $x$), направление выпуклости графика не изменяется. Таким образом, точка $x = 0$ не является точкой перегиба для функции $y = x^4$, хотя вторая производная в этой точке равна нулю. В этой точке функция имеет минимум.

Ответ: Нет, неверно.