Номер 5.72, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.72, страница 140.

Условие.

5.72° В каком случае график функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют:

а) выпуклым вниз;

б) выпуклым вверх?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вниз (также говорят «вогнутым»), если он расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале. Это означает, что для любой точки $x_0 \in (a; b)$ касательная, проведенная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$, лежит под графиком функции.

Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a; b)$, то это условие эквивалентно тому, что ее вторая производная неотрицательна на этом интервале. Математически это выражается неравенством:

$f''(x) \ge 0$ для всех $x \in (a; b)$.

Геометрически такая кривая изгибается вверх, напоминая по форме чашу.

Ответ: График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вниз, если он расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале, что для дважды дифференцируемой функции соответствует условию $f''(x) \ge 0$.

б)

График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вверх (также говорят «выпуклым»), если он расположен не выше любой своей касательной на этом интервале. Это означает, что для любой точки $x_0 \in (a; b)$ касательная, проведенная к графику в точке $(x_0, f(x_0))$, лежит над графиком функции.

Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a; b)$, то это условие эквивалентно тому, что ее вторая производная неположительна на этом интервале. Математически это выражается неравенством:

$f''(x) \le 0$ для всех $x \in (a; b)$.

Геометрически такая кривая изгибается вниз, напоминая по форме холм или купол.

Ответ: График функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ называют выпуклым вверх, если он расположен не выше любой своей касательной на этом интервале, что для дважды дифференцируемой функции соответствует условию $f''(x) \le 0$.