Номер 5.78, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.78, страница 141.

Условие.

5.78 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции $y = f(x)$, если:

а) $f(x) = |x^2 - 1|$;

б) $f(x) = |\sin x|$;

в) $f(x) = |\operatorname{tg} x|$.

Есть ли у графика этой функции точки перегиба?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции используется вторая производная $f''(x)$.

• Если $f''(x) > 0$ на некотором интервале, то на этом интервале график функции выпуклый вниз (вогнутый).
• Если $f''(x) < 0$ на некотором интервале, то на этом интервале график функции выпуклый вверх (выпуклый).
• Точка перегиба — это точка, в которой функция непрерывна и меняет направление выпуклости. Это может произойти там, где $f''(x) = 0$ или $f''(x)$ не существует.

а) $f(x) = |x^2 - 1|$

Раскроем модуль, представив функцию в виде кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x^2 - 1 \ge 0 \\ -(x^2 - 1), & \text{если } x^2 - 1 < 0 \end{cases}$ Это эквивалентно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{при } x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \\ 1 - x^2, & \text{при } x \in (-1, 1) \end{cases}$

Найдем первую и вторую производные для каждого интервала. В точках $x = -1$ и $x = 1$ функция недифференцируема, так как в этих точках график имеет изломы.

1. Для $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$:
$f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$f''(x) = (2x)' = 2$
Поскольку $f''(x) = 2 > 0$, на этих промежутках график функции выпуклый вниз.

2. Для $x \in (-1, 1)$:
$f'(x) = (1 - x^2)' = -2x$
$f''(x) = (-2x)' = -2$
Поскольку $f''(x) = -2 < 0$, на этом промежутке график функции выпуклый вверх.

Направление выпуклости меняется в точках $x = -1$ и $x = 1$. Однако, поскольку в этих точках первая производная не существует (график имеет излом), они не являются точками перегиба в строгом смысле.

Ответ: График функции выпуклый вверх на промежутке $(-1, 1)$. График функции выпуклый вниз на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$. Точек перегиба нет.

б) $f(x) = |\sin x|$

Функция $f(x) = |\sin x|$ является периодической с периодом $\pi$. Раскроем модуль, учитывая знак $\sin x$: $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{при } \sin x \ge 0, \text{ т.е. } x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k] \\ -\sin x, & \text{при } \sin x < 0, \text{ т.е. } x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, функция недифференцируема (изломы). Найдем вторую производную на интервалах, где она существует.

1. Для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$:
$f(x) = \sin x$
$f'(x) = \cos x$
$f''(x) = -\sin x$
На этих интервалах $\sin x > 0$, следовательно $f''(x) < 0$. График выпуклый вверх.

2. Для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$:
$f(x) = -\sin x$
$f'(x) = -\cos x$
$f''(x) = \sin x$
На этих интервалах $\sin x < 0$, следовательно $f''(x) < 0$. График также выпуклый вверх.

Таким образом, на всех интервалах, где функция дважды дифференцируема, ее график выпуклый вверх. Направление выпуклости не меняется.

Ответ: График функции выпуклый вверх на всех промежутках вида $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$. Промежутков выпуклости вниз нет. Точек перегиба нет.

в) $f(x) = |\text{tg}\,x|$

Область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция является периодической с периодом $\pi$. Раскроем модуль: $f(x) = \begin{cases} \text{tg}\,x, & \text{при } \text{tg}\,x \ge 0, \text{ т.е. } x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \\ -\text{tg}\,x, & \text{при } \text{tg}\,x < 0, \text{ т.е. } x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1)) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, функция недифференцируема (изломы). Найдем вторую производную на интервалах, где она существует.

1. Для $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$:
$f(x) = \text{tg}\,x$
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$
На этих интервалах $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки, поэтому $f''(x) > 0$. График выпуклый вниз.

2. Для $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$:
$f(x) = -\text{tg}\,x$
$f'(x) = -\frac{1}{\cos^2 x}$
$f''(x) = -\frac{2\sin x}{\cos^3 x}$
На этих интервалах $\sin x$ и $\cos x$ имеют разные знаки, поэтому $\frac{2\sin x}{\cos^3 x} < 0$. Следовательно, $f''(x) > 0$. График также выпуклый вниз.

Таким образом, на всех интервалах области определения, где функция дважды дифференцируема, ее график выпуклый вниз. Направление выпуклости не меняется.

Ответ: График функции выпуклый вниз на всех промежутках области определения, т.е. на каждом интервале $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, исключая точки $x=\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Промежутков выпуклости вверх нет. Точек перегиба нет.