Номер 5.85, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.85, страница 145.

Условие.

5.85 a) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$, $[0; +\infty)$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$, $(-\infty; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$ на промежутке $[0; +\infty)$, необходимо провести исследование функции.
1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x - 5)(x^2 + 1) - (x^2 - 5x + 6)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 5x^2 - 5 - (2x^3 - 10x^2 + 12x)}{(x^2 + 1)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 2x - 5 - 2x^3 + 10x^2 - 12x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{5x^2 - 10x - 5}{(x^2 + 1)^2} = \frac{5(x^2 - 2x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 5(x^2 - 2x - 1) = 0 \implies x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$.
Корни уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Получаем две критические точки: $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.
3. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[0; +\infty)$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$, эта точка не принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.
$x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$, эта точка принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.
4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на границах промежутка.
Значение на левой границе $x=0$:
$f(0) = \frac{0^2 - 5(0) + 6}{0^2 + 1} = 6$.
Значение в критической точке $x_2 = 1 + \sqrt{2}$:
$f(1 + \sqrt{2}) = \frac{(1+\sqrt{2})^2 - 5(1+\sqrt{2}) + 6}{(1+\sqrt{2})^2 + 1} = \frac{1+2\sqrt{2}+2 - 5-5\sqrt{2}+6}{1+2\sqrt{2}+2+1} = \frac{4-3\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{4-3\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{2})$:
$f(1+\sqrt{2}) = \frac{(4-3\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{8-4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+6}{2(4-2)} = \frac{14-10\sqrt{2}}{4} = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$.
Исследуем поведение функции на бесконечности:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$.
5. Сравним полученные значения: $f(0)=6$, $f(1+\sqrt{2})=\frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$ и предел на бесконечности, равный 1.
Так как $7 = \sqrt{49}$ и $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$, то $7 - 5\sqrt{2} < 0$, следовательно, $f(1+\sqrt{2})$ — отрицательное число.
Значение $f(0)=6$ является наибольшим. Значение $f(1+\sqrt{2})=\frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$ является наименьшим.
Ответ: наибольшее значение функции равно $6$, наименьшее значение функции равно $\frac{7 - 5\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1}$ на промежутке $(-\infty; 0]$.
1. Производная и критические точки найдены в пункте а): $f'(x) = \frac{5(x^2 - 2x - 1)}{(x^2 + 1)^2}$, критические точки $x_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.
2. Определим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $(-\infty; 0]$.
$x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$, эта точка принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
$x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$, эта точка не принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
3. Вычислим значения функции в критической точке $x_1$ и на границе промежутка.
Значение на правой границе $x=0$:
$f(0) = \frac{0^2 - 5(0) + 6}{0^2 + 1} = 6$.
Значение в критической точке $x_1 = 1 - \sqrt{2}$:
$f(1 - \sqrt{2}) = \frac{(1-\sqrt{2})^2 - 5(1-\sqrt{2}) + 6}{(1-\sqrt{2})^2 + 1} = \frac{1-2\sqrt{2}+2 - 5+5\sqrt{2}+6}{1-2\sqrt{2}+2+1} = \frac{4+3\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} = \frac{4+3\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2+\sqrt{2})$:
$f(1-\sqrt{2}) = \frac{(4+3\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{8+4\sqrt{2}+6\sqrt{2}+6}{2(4-2)} = \frac{14+10\sqrt{2}}{4} = \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$.
Исследуем поведение функции на бесконечности:
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$.
4. Сравним полученные значения: $f(0)=6$, $f(1-\sqrt{2})=\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$ и предел на бесконечности, равный 1.
Приблизительное значение $f(1-\sqrt{2}) = \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{7 + 5 \cdot 1.414}{2} = \frac{14.07}{2} \approx 7.035$.
Это значение является наибольшим.
Что касается наименьшего значения, функция стремится к 1 при $x \to -\infty$, но никогда не достигает этого значения. На промежутке $(-\infty, 1-\sqrt{2})$ функция возрастает от 1 до $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[1-\sqrt{2}, 0]$ функция убывает от $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$ до 6. Таким образом, множество значений функции на $(-\infty; 0]$ есть $(1, \frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}]$. Наименьшее значение не достигается.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{7 + 5\sqrt{2}}{2}$, наименьшее значение не существует.