Номер 5.92, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.92, страница 148.

Условие.

5.92 a) Число 54 представлено в виде суммы трёх положительных слагаемых. Первое в два раза больше второго. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?

б) Число 48 представлено в виде суммы трёх положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Какими должны быть эти слагаемые, чтобы их произведение было наибольшим?

Решение 1.

Решение 4.

а) Пусть три положительных слагаемых будут $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, их сумма равна 54, а первое слагаемое в два раза больше второго. Запишем эти условия в виде системы уравнений:
$a + b + c = 54$
$a = 2b$
Мы хотим найти такие $a, b, c > 0$, чтобы их произведение $P = a \cdot b \cdot c$ было наибольшим.

Выразим $c$ и $a$ через $b$, чтобы свести задачу к поиску максимума функции одной переменной.
Подставим $a = 2b$ в первое уравнение:
$2b + b + c = 54 \Rightarrow 3b + c = 54 \Rightarrow c = 54 - 3b$.
Теперь выразим произведение $P$ как функцию от $b$:
$P(b) = (2b) \cdot b \cdot (54 - 3b) = 2b^2(54 - 3b) = 108b^2 - 6b^3$.

Найдем область определения функции $P(b)$. Так как все слагаемые должны быть положительными:
$b > 0$
$a = 2b > 0$, что также дает $b > 0$.
$c = 54 - 3b > 0 \Rightarrow 54 > 3b \Rightarrow 18 > b$.
Таким образом, мы ищем максимум функции $P(b)$ на интервале $(0, 18)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(b)$ и приравняем ее к нулю:
$P'(b) = \frac{d}{db}(108b^2 - 6b^3) = 216b - 18b^2$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$216b - 18b^2 = 0$
$18b(12 - b) = 0$.
Это уравнение имеет два корня: $b = 0$ и $b = 12$. Корень $b=0$ не входит в наш интервал $(0, 18)$. Следовательно, единственная критическая точка, которую нужно рассмотреть, это $b = 12$.

Чтобы убедиться, что $b=12$ является точкой максимума, используем вторую производную:
$P''(b) = \frac{d}{db}(216b - 18b^2) = 216 - 36b$.
Подставим значение $b=12$:
$P''(12) = 216 - 36 \cdot 12 = 216 - 432 = -216$.
Так как $P''(12) < 0$, в точке $b=12$ функция $P(b)$ достигает максимума.

Теперь найдем значения остальных слагаемых:
$b = 12$
$a = 2b = 2 \cdot 12 = 24$
$c = 54 - 3b = 54 - 3 \cdot 12 = 54 - 36 = 18$.
Проверка: $24 + 12 + 18 = 54$.
Ответ: слагаемые должны быть равны 24, 12 и 18.

б) Пусть три положительных слагаемых будут $x$, $y$ и $z$. По условию задачи, их сумма равна 48, и два слагаемых равны между собой. Запишем эти условия:
$x + y + z = 48$
Пусть $x = y$.
Мы хотим найти такие $x, y, z > 0$, чтобы их произведение $P = x \cdot y \cdot z$ было наибольшим.

Выразим $z$ и $y$ через $x$, чтобы свести задачу к поиску максимума функции одной переменной.
Подставим $y = x$ в первое уравнение:
$x + x + z = 48 \Rightarrow 2x + z = 48 \Rightarrow z = 48 - 2x$.
Теперь выразим произведение $P$ как функцию от $x$:
$P(x) = x \cdot x \cdot (48 - 2x) = x^2(48 - 2x) = 48x^2 - 2x^3$.

Найдем область определения функции $P(x)$. Так как все слагаемые должны быть положительными:
$x > 0$
$z = 48 - 2x > 0 \Rightarrow 48 > 2x \Rightarrow 24 > x$.
Таким образом, мы ищем максимум функции $P(x)$ на интервале $(0, 24)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(x)$ и приравняем ее к нулю:
$P'(x) = \frac{d}{dx}(48x^2 - 2x^3) = 96x - 6x^2$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$96x - 6x^2 = 0$
$6x(16 - x) = 0$.
Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 16$. Корень $x=0$ не входит в наш интервал $(0, 24)$. Следовательно, единственная критическая точка, которую нужно рассмотреть, это $x = 16$.

Чтобы убедиться, что $x=16$ является точкой максимума, используем вторую производную:
$P''(x) = \frac{d}{dx}(96x - 6x^2) = 96 - 12x$.
Подставим значение $x=16$:
$P''(16) = 96 - 12 \cdot 16 = 96 - 192 = -96$.
Так как $P''(16) < 0$, в точке $x=16$ функция $P(x)$ достигает максимума.

Теперь найдем значения остальных слагаемых:
$x = 16$
$y = x = 16$
$z = 48 - 2x = 48 - 2 \cdot 16 = 48 - 32 = 16$.
Проверка: $16 + 16 + 16 = 48$.
Ответ: слагаемые должны быть равны 16, 16 и 16.