Номер 5.99, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.99, страница 149.

Условие.

5.99 На изготовление открытого бака заданного объёма $V$ в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, хотят затратить наименьшее количество металла. Какова должна быть ширина и высота бака? Решите задачу в общем виде. Получите ответ в случае, если:

a) $V = 4$;

б) $V = 32$.

Решение 1.

Решение 4.

Пусть $x$ — сторона квадратного основания (ширина бака), а $h$ — высота бака.

Объём бака $V$ задан и вычисляется по формуле: $V = x^2 h$

Количество затраченного металла соответствует площади поверхности открытого бака. Эта площадь $S$ состоит из площади дна (квадрат со стороной $x$) и площади четырёх боковых стенок (прямоугольники со сторонами $x$ и $h$): $S = x^2 + 4xh$

Цель задачи — минимизировать функцию $S$ при заданном значении $V$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу объёма. Выразим высоту $h$: $h = \frac{V}{x^2}$

Подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = x^2 + 4x \left(\frac{V}{x^2}\right) = x^2 + \frac{4V}{x}$

Для нахождения минимума функции $S(x)$ найдём её производную по $x$ и приравняем к нулю. $S'(x) = \frac{d}{dx} \left(x^2 + 4Vx^{-1}\right) = 2x - 4Vx^{-2} = 2x - \frac{4V}{x^2}$

Приравняем производную к нулю: $S'(x) = 0 \implies 2x - \frac{4V}{x^2} = 0$

$2x = \frac{4V}{x^2}$

$2x^3 = 4V$

$x^3 = 2V$

Отсюда находим значение ширины $x$, при котором расход материала будет минимальным: $x = \sqrt[3]{2V}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, а не максимума, найдём вторую производную: $S''(x) = \frac{d}{dx} \left(2x - \frac{4V}{x^2}\right) = 2 + \frac{8V}{x^3}$

Поскольку размеры бака $x$ и его объём $V$ являются положительными величинами, $S''(x) > 0$. Это означает, что найденное значение $x$ соответствует точке минимума функции $S(x)$.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $x$ в выражение для $h$: $h = \frac{V}{x^2} = \frac{V}{(\sqrt[3]{2V})^2} = \frac{V}{(2V)^{2/3}} = \frac{V^1}{2^{2/3}V^{2/3}} = \frac{V^{1/3}}{2^{2/3}} = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}$

Таким образом, в общем виде ширина бака должна быть $x = \sqrt[3]{2V}$, а высота $h = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}$. Также можно заметить, что оптимальная высота ровно в два раза меньше оптимальной ширины: $h = \frac{x}{2}$.

Теперь решим задачу для конкретных значений объёма.

а) В случае, если $V = 4$:

Ширина: $x = \sqrt[3]{2V} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Высота: $h = \frac{x}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: ширина бака должна быть 2, а высота 1.

б) В случае, если $V = 32$:

Ширина: $x = \sqrt[3]{2V} = \sqrt[3]{2 \cdot 32} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Высота: $h = \frac{x}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: ширина бака должна быть 4, а высота 2.