Номер 5.106, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.106, страница 155.

Условие.

5.106 Является ли дробно-линейной функция:

а) $y = \frac{2x + 5}{10}$;

б) $y = \frac{2}{4x + 10}$;

в) $y = \frac{2x + 5}{4x}$;

г) $y = \frac{2x + 5}{4x + 10}$?

Решение 1.

Решение 4.

Дробно-линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, где $x$ — переменная, $a, b, c, d$ — некоторые числа, причем необходимо выполнение двух условий: $c \neq 0$ и $ad - bc \neq 0$. Первое условие означает, что знаменатель зависит от $x$, а второе — что функция не сводится к константе. Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

а) Для функции $y = \frac{2x + 5}{10}$ мы можем преобразовать выражение: $y = \frac{2}{10}x + \frac{5}{10} = 0.2x + 0.5$. Это уравнение представляет собой линейную функцию вида $y=kx+m$. Чтобы функция была дробно-линейной, в форме $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ должно выполняться условие $c \neq 0$. В нашем случае знаменатель — константа 10, что эквивалентно $0x + 10$. Таким образом, $c=0$, и функция не является дробно-линейной.

Ответ: нет.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{4x + 10}$. Ее можно представить в виде $y = \frac{0x+2}{4x+10}$. Коэффициенты здесь: $a=0, b=2, c=4, d=10$. Проверим условия:
1) $c = 4$, что не равно нулю ($c \neq 0$).
2) $ad - bc = (0)(10) - (2)(4) = 0 - 8 = -8$, что не равно нулю ($ad - bc \neq 0$).Оба условия выполняются, следовательно, функция является дробно-линейной.

Ответ: да.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{2x + 5}{4x}$. Ее можно представить в виде $y = \frac{2x+5}{4x+0}$. Коэффициенты здесь: $a=2, b=5, c=4, d=0$. Проверим условия:
1) $c = 4$, что не равно нулю ($c \neq 0$).
2) $ad - bc = (2)(0) - (5)(4) = 0 - 20 = -20$, что не равно нулю ($ad - bc \neq 0$).Оба условия выполняются, следовательно, функция является дробно-линейной.

Ответ: да.

г) Для функции $y = \frac{2x + 5}{4x + 10}$ коэффициенты: $a=2, b=5, c=4, d=10$.Условие $c=4 \neq 0$ выполняется. Проверим второе условие: $ad - bc = (2)(10) - (5)(4) = 20 - 20 = 0$.Поскольку $ad-bc=0$, функция не является дробно-линейной. Это означает, что она вырождается в постоянную функцию на своей области определения. Упростим выражение: $y = \frac{2x+5}{2(2x+5)} = \frac{1}{2}$ при условии, что $2x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -2.5$. Таким образом, это постоянная функция с выколотой точкой, а не дробно-линейная.

Ответ: нет.