Номер 5.112, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.112, страница 156.

Условие.

5.112* Дана функция $f(x)=\frac{-3x-1}{x+1}$. Постройте график функции:

а) $y = f(x)$;

б) $y = |f(x)|$;

в) $y = f(|x|)$;

г) $y = |f(|x|)|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для построения графиков функций, связанных с $f(x)$, сначала проанализируем и построим график самой функции $f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1}$.

Выделим целую часть в выражении для функции, чтобы представить ее в виде $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$:

$f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1} = \frac{-3(x + 1) + 3 - 1}{x + 1} = \frac{-3(x + 1)}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x + 1} - 3$.

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола, полученная из графика $y=\frac{2}{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз.

• Вертикальная асимптота: $x = -1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -3$.
• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = f(0) = \frac{-1}{1} = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{-3x - 1}{x + 1} \Rightarrow -3x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1/3$. Точка $(-1/3, 0)$.

а) $y = f(x)$

График функции $y = f(x) = \frac{2}{x + 1} - 3$ строится на основе вышеизложенного анализа. Это гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=-3$. Так как коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях относительно нового центра координат $(-1, -3)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ — это гипербола с центром симметрии в точке $(-1, -3)$, вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=-3$. График проходит через точки $(0, -1)$ и $(-1/3, 0)$.

б) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно ту часть графика $y=f(x)$, которая лежит ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси, а часть графика, которая лежит выше или на оси Ox, оставить без изменений.

1. Определим знаки функции $f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1}$. Нуль функции: $x=-1/3$. Вертикальная асимптота: $x=-1$.

• $f(x) \ge 0$ при $x \in (-1, -1/3]$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, \infty)$.

2. Часть графика на интервале $x \in (-1, -1/3]$ остается без изменений.

3. Части графика на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1/3, \infty)$ отражаются симметрично относительно оси Ox.

4. Вертикальная асимптота $x=-1$ сохраняется. Горизонтальная асимптота $y=-3$ при отражении переходит в $y=3$.

Ответ: График функции $y = |f(x)|$ имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. Он совпадает с графиком $y=f(x)$ на интервале $(-1, -1/3]$ и является зеркальным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси Ox на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1/3, \infty)$. В точке $(-1/3, 0)$ график имеет излом.

в) $y = f(|x|)$

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, являющейся четной, нужно:

1. Построить график функции $y=f(x)$ для $x \ge 0$.

2. Удалить часть графика для $x < 0$.

3. Отразить построенную в п.1 часть графика симметрично относительно оси Oy.

Для $x \ge 0$, график $y=f(x)$ представляет собой ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(0, -1)$ и асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=-3$ при $x \to \infty$. Вертикальная асимптота $x=-1$ не попадает в область $x \ge 0$.

Отразив эту часть графика относительно оси Oy, мы получим симметричный график. Новая функция задается формулой $y = \frac{-3|x|-1}{|x|+1}$. Поскольку знаменатель $|x|+1$ никогда не равен нулю, у этого графика нет вертикальных асимптот.

Ответ: График функции $y=f(|x|)$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет "вершину" в точке $(0, -1)$ и с обеих сторон (при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$) асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=-3$. Вертикальных асимптот у графика нет.

г) $y = |f(|x|)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(|x|)|$, можно взять график функции $y = f(|x|)$, построенный в предыдущем пункте, и применить к нему преобразование модуля: отразить часть графика, лежащую ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

Весь график функции $y=f(|x|)$ из пункта (в) лежит ниже оси Ox, так как его максимальное значение равно -1.

Следовательно, для получения графика $y = |f(|x|)|$ необходимо весь график $y=f(|x|)$ отразить симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y=|f(|x|)|$ симметричен относительно оси Oy. Он получается отражением графика из пункта (в) относительно оси Ox. График имеет точку минимума в $(0, 1)$ и с обеих сторон асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=3$.