Номер 5.114, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.114, страница 161.

Условие.

5.114 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию и постройте её график:

а) $y = x^3 - 3x^2 - 1;$

б) $y = x^4 - 2x^2 + 3;$

в) $y = -x^3 + 3x + 1;$

г) $y = x^3 - 3x^2 + 1;$

д) $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + 1;$

е) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = x^3 - 3x^2 - 1$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Находим производную функции: $y' = (x^3 - 3x^2 - 1)' = 3x^2 - 6x$.

3. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной и определяем интервалы монотонности:
- На интервале $(-\infty, 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0, 2)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(2, +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

5. Находим точки экстремума и их значения:
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 1 = -1$.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 1 = 8 - 12 - 1 = -5$.

6. График функции — кубическая парабола. Он возрастает до точки максимума $(0, -1)$, затем убывает до точки минимума $(2, -5)$, после чего снова возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 2]$. Точка максимума $(0, -1)$, точка минимума $(2, -5)$.

б) $y = x^4 - 2x^2 + 3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = y(x)$, её график симметричен относительно оси OY.

2. Находим производную: $y' = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.

3. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies 4x(x-1)(x+1)=0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0, 1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = -1$ — точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
- $x = 0$ — точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$.
- $x = 1$ — точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

6. График имеет W-образную форму, симметричную относительно оси OY. Он убывает до точки минимума $(-1, 2)$, возрастает до точки максимума $(0, 3)$, убывает до второй точки минимума $(1, 2)$, а затем возрастает.

Ответ: Функция возрастает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$. Точки минимума $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, точка максимума $(0, 3)$.

в) $y = -x^3 + 3x + 1$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (-x^3 + 3x + 1)' = -3x^2 + 3$.

3. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$-3x^2 + 3 = 0 \implies 3(1 - x^2) = 0 \implies x^2 = 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = -1$ — точка минимума. $y_{min} = y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.
- $x = 1$ — точка максимума. $y_{max} = y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$.

6. График — кубическая парабола. Он убывает до точки минимума $(-1, -1)$, затем возрастает до точки максимума $(1, 3)$ и снова убывает. Пересечение с осью OY в точке $(0, 1)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$. Точка минимума $(-1, -1)$, точка максимума $(1, 3)$.

г) $y = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x$.

3. Находим критические точки ($y'=0$): $3x(x - 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Интервалы монотонности (аналогичны пункту а)):
- На $(-\infty, 0)$ функция возрастает ($y' > 0$).
- На $(0, 2)$ функция убывает ($y' < 0$).
- На $(2, +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$).

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = 0$ — точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$.
- $x = 2$ — точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$.

6. График функции идентичен графику из пункта а), но сдвинут на 2 единицы вверх по оси OY. Он возрастает до точки $(0, 1)$, убывает до точки $(2, -3)$, затем возрастает.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $[0, 2]$. Точка максимума $(0, 1)$, точка минимума $(2, -3)$.

д) $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + 1$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + 1)' = x^2 - 6x + 5$.

3. Находим критические точки ($y'=0$): $x^2 - 6x + 5 = 0 \implies (x - 1)(x - 5) = 0$. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На $(-\infty, 1)$ функция возрастает ($y' > 0$).
- На $(1, 5)$ функция убывает ($y' < 0$).
- На $(5, +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$).

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = 1$ — точка максимума. $y_{max} = y(1) = \frac{1}{3} - 3 + 5 + 1 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$.
- $x = 5$ — точка минимума. $y_{min} = y(5) = \frac{125}{3} - 3(25) + 5(5) + 1 = \frac{125}{3} - 75 + 25 + 1 = \frac{125}{3} - 49 = -\frac{22}{3}$.

6. График — кубическая парабола, возрастающая до точки максимума $(1, \frac{10}{3})$, затем убывающая до точки минимума $(5, -\frac{22}{3})$, и снова возрастающая. Пересечение с осью OY в точке $(0, 1)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$, убывает на $[1, 5]$. Точка максимума $(1, \frac{10}{3})$, точка минимума $(5, -\frac{22}{3})$.

е) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2)' = x^2 + 6x - 7$.

3. Находим критические точки ($y'=0$): $x^2 + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На $(-\infty, -7)$ функция возрастает ($y' > 0$).
- На $(-7, 1)$ функция убывает ($y' < 0$).
- На $(1, +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$).

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = -7$ — точка максимума. $y_{max} = y(-7) = \frac{1}{3}(-7)^3 + 3(-7)^2 - 7(-7) - 2 = -\frac{343}{3} + 147 + 49 - 2 = -\frac{343}{3} + 194 = \frac{239}{3}$.
- $x = 1$ — точка минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 7(1) - 2 = \frac{1}{3} + 3 - 7 - 2 = \frac{1}{3} - 6 = -\frac{17}{3}$.

6. График — кубическая парабола, возрастающая до точки максимума $(-7, \frac{239}{3})$, затем убывающая до точки минимума $(1, -\frac{17}{3})$, и снова возрастающая. Пересечение с осью OY в точке $(0, -2)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -7]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-7, 1]$. Точка максимума $(-7, \frac{239}{3})$, точка минимума $(1, -\frac{17}{3})$.